Chủ đề này có 2 trả lời

[vantm1962]

Cho $0< x;y;z\leq 1 ; x+y+z=2 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A= \frac{(x-1)^2}{z}+\frac{(y-1)^2}{x}+\frac{(z-1)^2}{y}$
-----------------------------------------
Bạn là thành viên mới nên xem kĩ những nội dung sau:

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

$\to$ Nội quy Diễn đàn Toán học

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 14-01-2012 - 13:58
Tiêu đề + $\LaTeX$ fixed

[T M]

* Sử dụng bất đẳng thức Schwarz :$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

$\Rightarrow A\geq\frac{(x+y+z-3)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}$

$"="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$

[jb7185]

Cho $0< x;y;z\leq 1 ; x+y+z=2 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A= \frac{(x-1)^2}{z}+\frac{(y-1)^2}{x}+\frac{(z-1)^2}{y}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{(x-1)^{2}}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(x-1)^{2}}{z}.\frac{z}{4}}=1-x$ (vì $0<x,y,z\leq 1$)
Tương tự:
$\frac{(y-1)^{2}}{x}+\frac{x}{4}\geq 1-y$
$\frac{(z-1)^{2}}{y}+\frac{y}{4}\geq 1-z$
$\Rightarrow \frac{(x-1)^{2}}{z}+\frac{(y-1)^{2}}{x}+\frac{(z-1)^{2}}{y}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3-x-y-z$
$\Rightarrow A\geq 3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$