Chủ đề này có 9 trả lời

[Tham Lang]

Đây là một bài toán trong đề thi GVDG tỉnh Nghệ An vừa rồi
Cho các số thực $a, b, c$ thoả mãn $a \ge b \ge c$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 5$ . Chứng minh rằng :
$$(a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca) \ge -4$$

[phuc_90]

Làm nốt để về quê ăn tết

Nhận xét :
1) Nếu bộ $(a,b,c)$ có 2 số bất kì bằng nhau thì BĐT hiển nhiên đúng. Do đó ta chỉ xét bộ $(a,b,c)$ với các số thực phân biệt.

2) Ta thấy $(a-b)(b-c) \geq 0$, do đó nếu $(c-a)(ab+bc+ca) \geq 0$ thì BĐT luôn đúng.

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh BĐT trên trong trường hợp $(c-a)(ab+bc+ca) < 0$ và $a,b,c$ là các số thực phân biệt.

BĐT cần chứng minh tương đương với $(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca) \leq 4$

Do $c-a < 0$ suy ra $ab+bc+ca > 0$. Khi đó áp dụng BĐT Cauchy ta có

$(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \leq \left(\dfrac{a-b+b-c+c-a+ab+bc+ca}{4}\right)^4 \leq \left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{5}{4}\right)^4 < 4 $

Vậy BĐT được chứng minh.

Và câu hỏi tự nhiên đặt ra ở bài này là.

Hãy tìm giá trị $k$ tốt nhất để BĐT trên vẫn còn đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 14-01-2012 - 23:34

[Tham Lang]

Làm nốt để về quê ăn tết

Nhận xét :
1) Nếu bộ $(a,b,c)$ có 2 số bất kì bằng nhau thì BĐT hiển nhiên đúng. Do đó ta chỉ xét bộ $(a,b,c)$ với các số thực phân biệt.

2) Ta thấy $(a-b)(b-c) \geq 0$, do đó nếu $(c-a)(ab+bc+ca) \geq 0$ thì BĐT luôn đúng.

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh BĐT trên trong trường hợp $(c-a)(ab+bc+ca) < 0$ và $a,b,c$ là các số thực phân biệt.

BĐT cần chứng minh tương đương với $(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca) \leq 4$

Do $c-a < 0$ suy ra $ab+bc+ca > 0$. Khi đó áp dụng BĐT Cauchy ta có

$(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \leq \left(\dfrac{a-b+b-c+c-a+ab+bc+ca}{4}\right)^4 \leq \left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{5}{4}\right)^4 < 4 $

Vậy BĐT được chứng minh.

Và câu hỏi tự nhiên đặt ra ở bài này là.

Hãy tìm giá trị $k$ tốt nhất để BĐT trên vẫn còn đúng.

Nhưng anh cm thiếu mất 1 th là = -4 rồi. Mà em thấy không cần thiết phải xét $(c - a)(ab + bc + ca) \ge 0$ đâu, vì theo giả thiết chỉ cần xét $\le $ thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 14-01-2012 - 23:38

[phuc_90]

Nhưng anh cm thiếu mất 1 th là = -4 rồi. Mà em thấy không cần thiết phải xét $(c - a)(ab + bc + ca) \ge 0$ đâu, vì theo giả thiết chỉ cần xét $\le $ thôi.

Cái này không cần bằng $-4$ đâu vì ta thấy $-4$ nó chưa phải là số tốt nhất, VT nó lớn hơn $-4$ thật sự .Nếu ta không nhận xét như vậy thì ta không có $ab+bc+ca >0$ để áp dụng BĐT Cauchy được @_^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 14-01-2012 - 23:47

[Tham Lang]

Cái này không cần bằng $-4$ đâu vì ta thấy $-4$ nó chưa phải là số tốt nhất, VT nó lớn hơn $-4$ thật sự .Nếu ta không nhận xét như vậy thì ta không có $ab+bc+ca >0$ để áp dụng BĐT Cauchy được @_^)

anh hãy thử a = 2, b = 1, c = 0.

[icefrogblug]

chung minh ho em bai nay:
cho a,b,c thuoc [0,1].chung minh [(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b) +1/(b+c) +1/(c+a)] nho hon hoac bang 5.
va ai co phan mem go cong thuc toan thi gui cho em luon nha!

_________
MOD: Vui lòng viết hoa đầu dòng + gõ tiếng Việt có dấu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-01-2012 - 20:03

[Tham Lang]

chung minh ho em bai nay:
cho a,b,c thuoc [0,1].chung minh [(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b) +1/(b+c) +1/(c+a)] nho hon hoac bang 5.
va ai co phan mem go cong thuc toan thi gui cho em luon nha!

bạn xem lại đề đi nhé !nếu cm $$((a + b) + (b + c) + (c + a))(\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}) \le 5$$ thì không đúng đâu, phải là $\le 10$ chứ

[icefrogblug]

dung roi.minh nham.cam on ban.ban co the huong dan minh bai đay duoc khong

___________
MOD: Vui lòng viết hoa đầu dòng + gõ tiếng Việt có dấu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-01-2012 - 20:03

[Nguyễn Hưng]

Do $c-a < 0$ suy ra $ab+bc+ca > 0$. Khi đó áp dụng BĐT Cauchy ta có

$(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \leq \left(\dfrac{a-b+b-c+c-a+ab+bc+ca}{4}\right)^4 \leq \left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{5}{4}\right)^4 < 4 $

Đang cần chứng minh $(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca) \leq 4$ mà nhỉ?

[phuc_90]

Sorry mọi người ... lúc trước mình bận nhiều việc ở nhà wa ko có thời gian để edit lại bài. Nay mình đã edit lại rồi...@_^)

Ta sử dụng 2 BĐT sau $xy \leq \left (\dfrac{x+y}{2}\right)^2$ và $xy\leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$ với $x,y$ là các số thực

BĐT cần chứng minh tương đương với $(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca) \leq 4$

Ta có

$(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca)$

$= (b-c)(a^2-a(b+c)+bc)(ab+bc+ca)$

$\leq (b-c)\left(\dfrac{a^2-a(b+c)+bc+ab+bc+ca}{2}\right)^2$
$= (b-c)\left(\dfrac{a^2+2bc}{2}\right)^2 = 4(b-c)\left(\dfrac{a^2+2bc}{4}\right)^2$

$\leq 4\left(\dfrac{b-c+\dfrac{a^2+2bc}{4}+\dfrac{a^2+2bc}{4}}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{b-c+\dfrac{a^2}{2}+bc}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{b(1+c)-c+\dfrac{a^2}{2}}{3}\right)^3$

$\leq 4\left(\dfrac{\dfrac{b^2+(1+c)^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}-c}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}}{3}\right)^3=4$

Vậy BĐT đã được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 01-02-2012 - 10:44