Chủ đề này có 2 trả lời

[uchihalinh]

$$\frac{{{x^4}}}{{y + z}} + \frac{{{y^4}}}{{z + x}} + \frac{{{z^4}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{2}({x^3} + {y^3} + {z^3})$$ với $$x,y,z \ge 0$$

[le_hoang1995]

$$\frac{{{x^4}}}{{y + z}} + \frac{{{y^4}}}{{z + x}} + \frac{{{z^4}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{2}({x^3} + {y^3} + {z^3})$$ với $$x,y,z \ge 0$$

Bạn sử dụng BĐT sau:

$3(ax+by+cz)\geq (a+b+c)(x+y+z) $ (1) với $a\geq b\geq c$ và $x\geq y\geq z$

$\left ( 1 \right )\rightarrow VT-VP=\sum (a-b)(x-y) \geq 0$ đúng vì dãy a,b,c và dãy x,y,z tăng.

Áp dụng 1 giả sử $x\geq y\geq z \Rightarrow \frac{x}{y+z}\geq \frac{y}{z+x}\geq \frac{z}{x+y}$
$\frac{x^{4}}{y+z}+\frac{y^{4}}{z+x}+\frac{z^{4}}{x+y}\geq \frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right )\geq \frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})*\frac{3}{2}=VP$

Đ.P.C.M

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 19-01-2012 - 08:19

[alex_hoang]

$$\frac{{{x^4}}}{{y + z}} + \frac{{{y^4}}}{{z + x}} + \frac{{{z^4}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{2}({x^3} + {y^3} + {z^3})$$ với $$x,y,z \ge 0$$

Bài toán này không đến mức quá khó đâu.Cũng chưa đến mức phải dùng đến cái Chebyshev sử dụng cái đơn giản thôi $AM-GM$ chẳng hạn
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ thì ta có
$$\frac{{{x^4}}}{{y + z}} + \frac{{{x^2}(y + z)}}{4} \ge {x^3}$$
$$ \Rightarrow \frac{{{x^4}}}{{y + z}} \ge \frac{2}{3}{x^3} - \frac{1}{{12}}({y^3} + {z^3})$$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế thì ta có điều phải chứng minh