Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm số $f$ trên tập $\mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn
$$\mathbf{f(1)=2012\,\,\text{và}\,\,n(n+1)f(n+1)=n(n+1)f(n)+1+n^{2}+n^{3},\forall n\in \mathbb{N}^{*}}$$

[shinichikudo2106]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm số $f$ trên tập $\mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn
$$\mathbf{f(1)=2012\,\,\text{và}\,\,n(n+1)f(n+1)=n(n+1)f(n)+1+n^{2}+n^{3},\forall n\in \mathbb{N}^{*}}$$

vì $n\epsilon \mathbb{N}^{*}$, nên
$f(n+1)-f(n)= \frac{n^{3}+n^{2}+1}{n(n+1)}= n^{2}+\frac{1}{n(n+1)}= n^{2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
thay $n=1$ đến n , cộng vế với vế
ta có :
$f(n)-f(1)= \sum_{1}^{n}n^{2}+1 - \frac{1}{n}$
đến đây thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo2106: 19-01-2012 - 16:51

[Crystal]

Hướng giải quyết của bạn đã đúng nhưng bạn nhầm ở chỗ này:

vì $n\epsilon \mathbb{N}^{*}$, nên
$f(n+1)-f(n)= \frac{n^{3}+n^{2}+1}{n(n+1)}= n^{2}+\frac{1}{n(n+1)}= n^{2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Lời giải hoàn chỉnh như sau:

Theo giải thiết, ta có: $$f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right) = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} + n$$
Khi đó: $f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = \frac{1}{{1.2}} + 1 = \left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right) + 1$

$f\left( 3 \right) - f\left( 2 \right) = \frac{1}{{2.3}} + 2 = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + 2$
$...............$

$f\left( n \right) - f\left( {n - 1} \right) = \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} + n - 1 = \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) + n - 1$

Suy ra: $$f\left( n \right) - f\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{n} + \frac{{n - 1}}{2}\left( {1 + n - 1} \right) = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)}}{{2n}} \Rightarrow f\left( n \right) = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)}}{{2n}} + f\left( 1 \right)$$
Vậy $\mathbf{f\left( n \right) = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)}}{{2n}} + 2012}$