Chủ đề này có 2 trả lời

[thang96]

Cho tam giác ABC. Chứng minh nếu $\frac{a}{m_{a}} +\frac{b}{m_{b}} +\frac{c}{m_{c}} = 2\sqrt{3}$ thì tam giác ABC đều

[macdangdung]

Bài này dùng bdt đánh giá để ép a=b=c

[dark templar]

Cho tam giác ABC. Chứng minh nếu $\frac{a}{m_{a}} +\frac{b}{m_{b}} +\frac{c}{m_{c}} = 2\sqrt{3}$ thì tam giác ABC đều

Ta sẽ chứng minh rằng:$\frac{a}{m_{a}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}} \ge 2\sqrt{3}$ và đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
Dựa trên công thức đường trung tuyến,ta viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$\frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}} \ge \sqrt{3}$$
Sử dụng BĐT AM-GM,ta có:
$$\frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2[2(b^2+c^2)-a^2]}} \overset{AM-GM}{\ge} \frac{2\sqrt{3}a^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}$$
Làm tương tự với 2 biến biểu thức còn lại rồi cộng vế theo vế,ta sẽ có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay tam giác ABC đều.