Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^3 + 2y^3 - 4x - 5y + z^2 = 2012$$
Giải phương trình nghiệm nguyên $x^3 + 2y^3 - 4x - 5y + z^2 = 2012$
Started By Zaraki, 23-01-2012 - 08:00
#1
Posted 23-01-2012 - 08:00
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 posts
PQT
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Posted 23-01-2012 - 11:26
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 posts
Thượng úy
Giải như sau: (lấy lộc đầu năm)Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^3 + 2y^3 - 4x - 5y + z^2 = 2012$$
Viết lại phương trình: $x^3+2y^3-4x-5y+z^2=2012 \leftrightarrow (x^3-4x)+(2y^3-5y)+z^2=2012 \leftrightarrow (x-2)x(x+2)+y(2y^2-5)+z^2=2012$
Dễ thấy $(x-2)x(x+2)$ chia hết cho $3$ với mọi $x$ nguyên
Giờ ta xét $y(2y^2-5)$:
1) Nếu $3|y$ thì suy ra cả $(x-2)x(x+2)$ và $y(2y^2-5)$ chia hết cho $3$ mà lại có $2012 \equiv 2 \pmod{3}$ nên $z^2$ chia $3$ dư $2$ vô lý do $z^2$ chính phương
2) Nếu $y$ không chia hết cho $3$ thì $y^2 \equiv 1 \pmod{3} \rightarrow 2y^2-5 \equiv 0 \pmod{3}$
Do vậy cũng có $z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ vô lý do $z^2$ chính phương.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Edited by nguyenta98, 27-02-2012 - 22:46.
- perfectstrong, Zaraki, Yagami Raito and 4 others like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
