Chủ đề này có 2 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Tìm tất cả các số $n \in \mathbb{Z^+}$ sao cho:
$$7^{2000} \Big| 5^{n}+1$$

[nguyenta98]

Bài toán: Tìm tất cả các số $n \in \mathbb{Z^+}$ sao cho:
$$7^{2000} \Big| 5^{n}+1$$

Giải như sau:
Bổ đề: (Định lý Euler) Nếu $m$ là một số nguyên dương và $gcd(a,m)=1$ thì

$a^{Q(m)} \equiv 1 \pmod{m}$

Chứng minh định lý này rất dễ, nó gần tương tự định lý Fermat nhỏ (mọi người có thể tự chứng minh hoặc tham khảo trên mạng)
Áp dụng:
Xét dãy toàn các số không nguyên tố cùng nhau với $7^{2000}$ là $A=7,14,28,...,7^{2000}$
Số số của dãy $A$ là $\dfrac{(7^{2000}-7)}{7}+1=7^{1999}$
Do vậy $Q(7^{2000})=7^{2000}-7^{1999}=6.7^{1999} \rightarrow 7^{2000}|5^{6.7^{1999}}-1=(5^{3.7^{1999}}-1)(5^{3.7^{1999}} +1)$
Ta thấy $5^{3.7^{1999}}-1$ không chia hết cho $7$ do vậy $gcd(5^{3.7^{1999}}-1,7^{2000})=1 \rightarrow 7^{2000}|5^{3.7^{1999}} +1$
Như vậy có vô hạn $n$ có dạng $n=(3.7^{1999}).k$ với $k$ lẻ thì $7^{2000}|5^{3.7^{1999}}+1|5^{(3.7^{1999}).k}+1$

P/S: Nhưng em vẫn chưa tìm được nghiệm nào nhỏ hơn $3.7^{1999}$ anh thử cho lời giải đi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-01-2012 - 14:26

[dark templar]

Giải như sau:
Bổ đề: (Định lý Euler) Nếu $m$ là một số nguyên dương và $gcd(a,m)=1$ thì

$a^{Q(m)} \equiv 1 \pmod{m}$

Chứng minh định lý này rất dễ, nó gần tương tự định lý Fermat nhỏ (mọi người có thể tự chứng minh hoặc tham khảo trên mạng)
Áp dụng:
Xét dãy toàn các số không nguyên tố cùng nhau với $7^{2000}$ là $A=7,14,28,...,7^{2000}$
Số số của dãy $A$ là $\dfrac{(7^{2000}-7)}{7}+1=7^{1999}$
Do vậy $Q(7^{2000})=7^{2000}-7^{1999}=6.7^{1999} \rightarrow 7^{2000}|5^{6.7^{1999}}-1=(5^{3.7^{1999}}-1)(5^{3.7^{1999}} +1)$
Ta thấy $5^{3.7^{1999}}-1$ không chia hết cho $7$ do vậy $gcd(5^{3.7^{1999}}-1,7^{2000})=1 \rightarrow 7^{2000}|5^{3.7^{1999}} +1$
Như vậy có vô hạn $n$ có dạng $n=(3.7^{1999}).k$ với $k$ lẻ thì $7^{2000}|5^{3.7^{1999}}+1|5^{(3.7^{1999}).k}+1$

P/S: Nhưng em vẫn chưa tìm được nghiệm nào nhỏ hơn $3.7^{1999}$ anh thử cho lời giải đi.

Giải như vậy là đúng rồi đó Nói chung là $n=3k.7^{1999}$ với $k$ lẻ,$k \in \mathbb{N^*}$.