Chủ đề này có 1 trả lời

[caubeyeutoan2302]

Bài toán :

-Tôi xét 2 dãy số sau đây $ {u_n} , {v_n};n=0,1,2,........... $ được xác định như sau :

$ u_0=\frac{\sqrt{2}}{2} , u_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{1-\sqrt{1-u_n^2}} ; n=0,1,2,............. $

$v_0=1, v_{n+1}=\frac{\sqrt{1+v_n^2}-1}{v_n};n=0,1,2,...........$

Bạn hãy chứng minh là : $ u_n<\frac{\pi}{2^{n+1}}<v_n $

[dark templar]

Bài toán :

-Tôi xét 2 dãy số sau đây $ {u_n} , {v_n};n=0,1,2,........... $ được xác định như sau :

$ u_0=\frac{\sqrt{2}}{2} , u_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{1-\sqrt{1-u_n^2}} ; n=0,1,2,............. $

$v_0=1, v_{n+1}=\frac{\sqrt{1+v_n^2}-1}{v_n};n=0,1,2,...........$

Bạn hãy chứng minh là : $ u_n<\frac{\pi}{2^{n+1}}<v_n $

Anh làm thử nhé Hình như đề phải cho $u_1=\frac{\sqrt{2}}{2};v_1=1$ thì mới đúng
Ở dãy đầu,đặt $u_1=\sin{r}\left(r \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right] \right) \Rightarrow r=\frac{\pi}{4}$.Dựa vào biểu thức truy hồi,ta quy nạp được:
$$u_{n}=\sin{\left(\frac{r}{2^{n-1}} \right)}=\sin{\left(\frac{\pi}{2^{n+1}} \right)}$$
Ở dãy sau,ta đặt $v_1=\tan{r}\left(r \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right] \right) \Rightarrow r=\frac{\pi}{4}$.Dựa vào biểu thức truy hồi,ta cũng quy nạp được:
$$v_{n}=\tan{\left(\frac{r}{2^{n-1}} \right)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2^{n+1}} \right)}$$
Việc còn lại là đi chứng minh:
$$\sin{x}<x<\tan{x}(1)$$
Trong đó $x=\frac{\pi}{2^{n+1}}>0$.
BĐT (1) khảo sát hàm số là OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-01-2012 - 17:51