Chủ đề này có 2 trả lời

[wjzhweo]

Mình có bt tết là vài bài BĐT, mình làm dc 16/22 bài rồi, còn 6 con nghĩ mãi không ra, có bạn nào biết chỉ mình với
Các bài chưa làm dc : 1, 8, 11, 15, 16, 21! Cảm ơn trc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-01-2012 - 13:01
Công thức được kẹp trong cặp dấu $

[Ispectorgadget]

Bài 1:
Chọn $\overrightarrow{u}=(x+\frac{y}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}y);\overrightarrow{v}=(-(x+\frac{z}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}z)$
Áp dụng BĐT Tọa độ Vector
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\sqrt{(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2}+\sqrt{(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}z^2}\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}|=\sqrt{(\frac{y-z}{2})^2+\frac{3}{4}(y+z)^2}$
$=\sqrt{y^2+yz+z^2}$ (đpcm)
Bài 11:

Ta có: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=4$ nên $a+b+c=\pm 2$
Nếu a+b+c=2 thì \[
\left\{ \begin{array}{l}
ab = 1 - c(2 - c) \\
a + b = 2 - c \\
\end{array} \right.
\]
nên a,b là nghiệm của phương trình $t^2-(2-c)t+1-2c+c^2=0$ (*)
Lấy delta ta suy ra đươc $0\leq c\leq \frac{4}{3}$
Nếu $a+b+c=-2$ làm tương tự ta có: $\frac{-4}{3}\leq c\leq 0$ do đó $\frac{-4}{3}\leq c\leq 0$
Như vậy $\frac{-4}{3}\leq c\leq \frac{4}{3}$
Nếu $c=\frac{4}{3}$ khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép $t=\frac{2-c}{2}=\frac{1}{3}$
Nên GTLN của $c=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}$
GTNN của c là $\frac{-4}{3}\Leftrightarrow a=b=-\frac{1}{3}$

Mấy bài còn lại mời mọi người chém nốt

[dark templar]

Ý tưởng của bạn hieunamlt là đúng rồi đấy,chỉ tội trình bày tắt
Để anh trình bày đầy đủ lại cho
Bài 8: Với $y \le 0$ thì từ điều kiện,ta có:
$$x^2+x-12=y \le 0 \iff -4 \le x \le 3$$
Như vậy,bài toán đưa về khảo sát hàm số sau:
$$f(x)=x+17+y(x+2)=x+17+(x+2)(x+4)(x-3)=x^3+3x^2-9x-7;x \in [-4;3]$$

Bài 15: Thực chất là sử dụng BĐT sau(cũng là Schur nhưng dạng phát biểu này quen thuộc hơn ):
$$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$
Và với điều kiện $a+b+c=3$ thì:
$$abc \ge (3-2a)(3-2b)(3-2c) \iff 3abc \ge 4(ab+bc+ca)-9$$

Bài 21: Đây là dạng Engel của Cauchy-Schwarz:
$$6=\frac{(\sqrt{2})^2}{x}+\frac{(\sqrt{3})^2}{y} \ge \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{x+y}$$

Giải luôn bài 16 cho trọn bộ
Bài 16: Giả thuyết $\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$.
BĐT cần chứng minh:
$$\iff \sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{2}{a^2}} \ge \sqrt{3}$$
Chỉ cần chứng minh BĐT sau theo Cauchy-Schwarz:
$$\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}} \ge \frac{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}}{\sqrt{3}}$$