Bài này thực ra là bài CZECH SLOVAKLIA 1996 mình xin trình bày lại cách giải :
TH1: p chẵn , dễ dàng thu được nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)
TH2: p lẻ
Theo ĐL Fermat nhỏ ,ta có : $p^{x}=y^{p}+1\equiv y+1\left ( mod p \right )$
$\Rightarrow y+1\vdots p$
Hiển nhiên y và 1 không chia hết cho p
Theo ĐL LTE , ta có : $v_{p}\left ( y^{p} +1\right )=v_{p}\left ( y+1 \right )+v_{p}\left ( p \right )=v_{p}\left ( y+1 \right ) +1$
$ \Rightarrow x-1=v_{p}\left ( y+1 \right ) $
Do đó : Từ $\left ( y+1 \right )\left ( y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1 \right )= p^{x}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y+1= p^{x-1} & & \\ & & y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1 =p \end{matrix}\right.$
+ Với y=1 thì $x-1=v_{p}\left ( 2 \right ) $
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}p=2 & & \\ x=2 & & \end{matrix}\right.$ (Loại)
+ Với y=2 thì $x-1=v_{p}\left ( 3 \right ) $
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}p=3 & & \\ x=2 & & \end{matrix}\right.$ (Thỏa mãn )
+Với y>2 thì $y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1$
$= y^{p-2}\left ( y-1 \right )+y^{p-1}\left ( y-1 \right )+...+y\left ( y-1 \right )+1> y^{p-2}+y^{p-1}+...+y+1> y+1$
$\Rightarrow p> p^{x-1}$
$ \Rightarrow x=1 $
$ \Rightarrow x-1=v_{p}\left ( y+1 \right )=0$ (Mâu thuẫn $ y+1\vdots p $)
Vây (x;y;p)=(1;1;2),(2;2;3)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi olympiachapcanhuocmo: 26-07-2015 - 11:06