$\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$
#1
Đã gửi 09-02-2012 - 22:01
$$\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}.$$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 12-02-2012 - 16:15
$\sum \left(a-\dfrac{a}{1+(b+c)^2}\right) \geq a+b+c-\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$
hay $\sum \left(a-\dfrac{a}{1+(b+c)^2}\right) \geq \dfrac{12abc(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$
BĐT này đúng vì $\sum \left(a-\dfrac{a}{1+(b+c)^2}\right)$
$ \geq \sum \left(a-\dfrac{a}{1+4bc}\right) = \sum \dfrac{4abc}{1+4bc}$
$=4abc \sum \dfrac{a^2}{a^2+4a^2bc}$
$\geq 4abc \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+4abc(a+b+c)}$
$=\dfrac{12abc(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$
Vậy BĐT đã được chứng minh.
- dark templar, le_hoang1995, Tham Lang và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-04-2021 - 11:18
Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum_{cyc}(\frac{a}{1+(b+c)^2}-a)\leqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}-3 \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}\geqslant \frac{36abc}{a^2+b^2+c^2+12abc}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức: $\sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{a+\frac{a}{(b+c)^2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}}=\frac{36abc}{4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})}$
Đến đây, ta cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2+12abc\geqslant 4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geqslant 4abc(\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{a}{bc}-\frac{4a}{(b+c)^2})\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b-c)^2}{bc(b+c)^2}\geqslant 0$ *Đúng*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-04-2021 - 11:18
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh