Tìm cực trị của hàm số
$f(x,y)=x^3+y^2+12xy+1$
Mọi người giúp mình nhé
Đặt $z = f\left( {x,y} \right) = {x^3} + {y^2} + 12xy + 1$
Ta có: ${{z'}_x} = 3{x^2} + 12y;\,\,{{z'}_y} = 2y + 12x$
Suy ra: ${{z''}_{xx}} = 6x;\,\,{{z''}_{xy}} = 12;\,\,{{z''}_{yy}} = 2$
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{{z'}_x} = 3{x^2} + 12y = 0\\
{{z'}_y} = 2y + 12x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 24x = 0\\
y = - 6x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 24\\
y = - 144
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Ta có các điểm dừng là ${M_1}\left( {0;0} \right),{M_2}\left( {24; - 144} \right)$
Với ${M_1}\left( {0;0} \right)$ thì ${A_1} = {{z''}_{xx}}\left( {{M_1}} \right) = 0;{B_1} = \,{{z''}_{xy}}\left( {{M_1}} \right) = 12;{C_1} = {{z''}_{yy}}\left( {{M_1}} \right) = 2$
$ \Rightarrow {\Delta _1} = B_1^2 - {A_1}{C_1} = 144 > 0$. Do đó ${M_1}$ không phải là điểm cực trị.
Với ${M_2}\left( {24; - 144} \right)$ thì ${A_2} = {{z''}_{xx}}\left( {{M_2}} \right) = 144>0;{B_2} = \,{{z''}_{xy}}\left( {{M_2}} \right) = 12;{C_2} = {{z''}_{yy}}\left( {{M_2}} \right) = 2$
$ \Rightarrow {\Delta _2} = B_2^2 - {A_2}{C_2} = - 144 < 0$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại ${M_2}\left( {24; - 144} \right)$ và $\min f\left( {x,y} \right) = f\left( {24; - 144} \right) = - 6911$.
