Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?
Bắt đầu bởi phamvanha92, 13-02-2012 - 22:33
#1
Đã gửi 13-02-2012 - 22:33
- nguyenta98 yêu thích
#2
Đã gửi 14-02-2012 - 00:00
Giải như sau:Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?
Gọi số đó là $\overline{A2008} \rightarrow A.10^4+1 \equiv 0 \pmod{2007} \rightarrow 1972A \equiv 2006 \pmod{2007}$
Giờ ta đi tìm số $k$ sao cho $1972|2006+2007k$ với $k<2007$
Thấy $1972=4.17.23 \rightarrow k \equiv 2 \pmod{4}$ <1>
Thấy $17|2006 \rightarrow 17|k$ <*>
Từ <1> và <*> suy ra $k=68q+34$ <2>
Lại thấy $2006 \equiv 5 \pmod{29} \rightarrow 2007k \equiv 24 \pmod{29} \rightarrow 6k \equiv 24 \pmod{29} \rightarrow k \equiv 4 \pmod{29}$ <3>
Từ <2> đặt $q=29t+r$ ($r<23$)
Từ <3> suy ra $68q+34 \equiv 3 \pmod{29} \rightarrow 1972t+68r+34 \equiv 4 \pmod{29} \rightarrow 29|68r+30 \rightarrow 23|10r+1 \rightarrow r=26$ (chú ý $r<29$)
Tóm lại $q=29t+26 \rightarrow k=68q+34=1564t+1802$
Thấy $k=1802$ bé nhất (cho $t=0$)
Trở lại bài toán $1972a\equiv 2006 \pmod{2007} \rightarrow 1972A \equiv 2006+2007.1802 \pmod{2007} \rightarrow A \equiv 1835 \pmod{2007}$
Để $\overline{A2008}$ min chọn $A=1835$
Do đó số cần tìm là $18352008$
Thử lại $18352008=1007.9144$ đúng
Đáp số $\boxed{18352008}$
P/S đừng thấy ngắn mà tưởng dễ nhé để có những con số và phương pháp tìm $k$ như trên là quá trình suy nghĩ dài dài!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-02-2012 - 00:01
- perfectstrong yêu thích
#3
Đã gửi 14-02-2012 - 06:06
Bài này vùa thj CAsio Vĩnh Phúc hôm nọ nhg thay 2008 , 2007 bằng 2012 , 2011Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh