8 replies to this topic

[saomayman]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa a²+b²+c²=1. Chứng ming rằng:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$
(Đề thi chọn đội tuyển lớp 9 Trần Đại Nghĩa - thi ngày 11/2/2012)
--------------------------------------
Chào bạn. Bạn là thành viên mới nên xem kĩ những nội dung sau:

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán

Edited by xusinst, 15-02-2012 - 17:19.
title fixed

[ductai199x]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa a²+b²+c²=1. Chứng ming rằng:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$
(Đề thi chọn đội tuyển lớp 9 Trần Đại Nghĩa - thi ngày 11/2/2012)
--------------------------------------
Chào bạn. Bạn là thành viên mới nên xem kĩ những nội dung sau:

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán

Mình xin trả lời bài của bạn nhé:

Trong bài này, ta sử dụng 2 BĐT sau:

1. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}$ (1)

2. $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ (2)

Để chứng minh:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$ (*)

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\geq \frac{-9}{2}$ (**)

Thật vậy, ta có:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3}$ (Sử dụng BĐT (1))

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2-3}=\frac{9}{1-3}=\frac{9}{-2}$ (Sử dụng BĐT (2))

Vậy $\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{-9}{2}$ (**) đúng $\Rightarrow$ (*) đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c, a^2+b^2+c^2=1 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Edited by ductai199x, 15-02-2012 - 21:39.

[Tham Lang]

Mình xin trả lời bài của bạn nhé:

Trong bài này, ta sử dụng 2 BĐT sau:

1. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}$ (1)

2. $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ (2)

Để chứng minh:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$ (*)

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\geq \frac{-9}{2}$ (**)

Thật vậy, ta có:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3}$ (Sử dụng BĐT (1))

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2-3}=\frac{9}{1-3}=\frac{9}{-2}$ (Sử dụng BĐT (2))

Vậy $\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{-9}{2}$ (**) đúng $\Rightarrow$ (*) đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c, a^2+b^2+c^2=1 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Chỗ tô đỏ em nên xem lại, vì điều kiện để áp dụng bđt phụ này là $x, y, z > 0$ mà ($ab, bc, ca$ không thể đồng thời > 1 được)

Edited by huymit_95, 16-02-2012 - 11:11.

[luutham]

Vẫn chưa có ai giải gúp bài này !!!!!! ?????

[phuc_90]

Lớp 9 mà cho đề khó quá nhỉ. Ko biết có học qua BĐT Schur chưa ? Có 1 cách giải bằng p,q,r và Schur

___
Em nghĩ bài này có thể dùng Chebishev được.

Edited by Ispectorgadget, 16-02-2012 - 22:56.

[ductai199x]

Lớp 9 mà cho đề khó quá nhỉ. Ko biết có học qua BĐT Schur chưa ? Có 1 cách giải bằng p,q,r và Schur

___
Em nghĩ bài này có thể dùng Chebishev được.

Sau 1 ngày tìm tòi thì mình ra bài này rồi đây, các bạn xem lời giải nhé!!!!!!!!!

Bài này mình chỉ dùng Cô-Si và Cô-si-Schwarz thôi nhé

BĐT sau: $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$ - Cauchy Schwarz in Engel Form

$\frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$

Ta có:

$\frac{ab}{1-ab} = \frac{2ab}{2(a^2+b^2+c^2)-2ab} \le \frac{2ab}{(2a^2+2b^2+2c^2)-(a^2+b^2)}$

$\frac{ab}{1-ab} \le \frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2}$

$\frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2} = \frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

$\frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

$\frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})$ (1)

Tương tự, ta có:

$\frac{bc}{1-bc} \le \frac{1}{2}(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2})$ (2)

$\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2})$ (3)

Cộng 3 BĐT (1), (2), (3) vào, ta có:

$\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}$

$(\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca})-(\frac{ab-1}{ab-1}+\frac{bc-1}{bc-1}+\frac{ca-1}{ca-1})$

$=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} - 3 \le \frac{3}{2}$

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$ (Điều phải chứng minh)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$a = b = c, a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Hoặc $a = b = c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Edited by ductai199x, 17-02-2012 - 03:50.

[saomayman]

Cảm ơn ductai199x
Vất vả cho bạn quá, thức đến 3h sáng để giải
Sáng naycũng có bạn khác gửi lời giải cho mình,
về cơ bản thì cũng giống cách của bạn.
Hôm nay đi học đừng ngủ gật nhé! - cảm ơn nhiều

[Poseidont]

Mình tưởng Bđt BCS dạng Engel thì mẫu phải là số dương chứ , nếu đc mình giải lại 1 cách chuẩn như sau :
Có :
$Q.E.D \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{1-ab}\leq \dfrac{3}{2}$(trừ 2 vế cho 3 )
Thật vậy , ta có :
$\dfrac{ab}{1-ab}=\dfrac{2ab}{(1+c^2)+(a-b)^2}\leq \dfrac{1}{2}\dfrac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\overset {Engel}{\le}\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2} \right )$
Lập các bđt tương tự , cộng vế với vế $\Rightarrow \sum \dfrac {ab}{1-ab} \le...= \dfrac {3}{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$
(Ngu�#8220;n : Những Viên Kim Cương Trong BĐT Toán Học )

giải rồi mà

Edited by HVADN, 17-02-2012 - 17:27.

[luutham]

Bài này đã đăng ở đây từ năm 2009
http://diendantoanho...showtopic=44666\

(Bài 16)

Edited by luutham, 17-02-2012 - 20:35.