Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 17-02-2012 - 19:34
cho $ I_n=\int_{0}^{1}x^2(1-x^2)^ndx, n\in N*$. tính $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}$
Bắt đầu bởi NGOCTIEN_A1_DQH, 17-02-2012 - 19:33
#1
Đã gửi 17-02-2012 - 19:33
cho $ I_n=\int_{0}^{1}x^2(1-x^2)^ndx, n\in N*$. tính $ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}$
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#2
Đã gửi 17-02-2012 - 20:53
cho $ I_n=\int_{0}^{1}x^2(1-x^2)^ndx, n\in N*$. tính $ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}$
Ta có: $${I_{n + 1}} = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n+1}}dx = \int\limits_0^1 {{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right){{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}} } dx = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}dx - } \int\limits_0^1 {{x^4}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}dx} $$
$$ = {I_n} + \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^3}} {\left( {1 - {x^2}} \right)^n}d\left( {1 - {x^2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Xét tích phân: $${J_n} = \int\limits_0^1 {{x^3}} {\left( {1 - {x^2}} \right)^n}d\left( {1 - {x^2}} \right)$$
Đặt $$\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^3}\\
dv = {\left( {1 - {x^2}} \right)^n}d\left( {1 - {x^2}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 3{x^2}dx\\
v = \frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}
\end{array} \right.$$
Khi đó: $${J_n} = \left. {{x^3}\frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1 - \frac{3}{{n + 1}}\int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n + 1}}dx = - } \frac{3}{{n + 1}}{I_{n + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $${I_{n + 1}} = {I_n} - \frac{1}{2}.\frac{3}{{n + 1}}{I_{n + 1}} \Rightarrow \frac{{{I_{n + 1}}}}{{{I_n}}} = \frac{{2n + 2}}{{2n + 5}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{I_{n + 1}}}}{{{I_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 2}}{{2n + 5}} = 1$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh