Cho a,b,c thõa mãn a,b,c>1.a+b+c=abc.
Tính GTNN của
P=$\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$
a,b,c thõa mãn a,b,c>1.a+b+c=abc.Tính GTNN của P=$\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$
Bắt đầu bởi mimoza884010, 18-02-2012 - 19:11
#1
Đã gửi 18-02-2012 - 19:11
#2
Đã gửi 19-02-2012 - 08:01
Giả thuyết:Cho a,b,c thõa mãn a,b,c>1.a+b+c=abc.
Tính GTNN của
P=$\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$
$$\iff \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$$
Ta có:
$$P=\sum\left[\frac{(b-1)+(a-1)}{b^2} \right]-\sum\frac{1}{a}=\sum\left[(a-1)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \right) \right]-\sum\frac{1}{a} \overset{AM-GM}{\ge} 2\sum\frac{a-1}{ab}-\sum\frac{1}{a}=\sum\frac{1}{a}-2$$
Lại có:
$$\left(\sum\frac{1}{a} \right)^2 \ge 3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \right)=3$$
Suy ra:$P \ge \sqrt{3}-2.P_{\min}=\sqrt{3}-2 \iff a=b=c=\sqrt{3}.$
- mimoza884010 và Tham Lang thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#3
Đã gửi 29-04-2021 - 09:19
Tương tự: https://diendantoanh...2z2geq-sqrt3-2/
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh