Chủ đề này có 3 trả lời

[minhdat881439]

Cho $x>1,y> 1,z> 1;x+y+z=xyz$. CMR:
$\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}\geq \sqrt{3}-2$

[NguyThang khtn]

Cho $x>1,y> 1,z> 1;x+y+z=xyz$. CMR:
$\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}\geq \sqrt{3}-2$

Ta có:
$\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$
$= \sum \frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}-(\sum \frac{1}{x})$
$=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}) -(\sum \frac{1}{x})$
$\geq \sum \frac{2(x-1)}{xz}-(\sum \frac{1}{x})$
$=(\sum \frac{1}{x}) -2$
Mà $(\sum \frac{1}{x})^2 \geq 3(\sum \frac{1}{xy})=3$ suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 26-06-2012 - 10:22

[duongst007]

 BĐT.doc   35.5K   99 Số lần tải

$VT = \frac{(y-1)+(x-1)}{x^{2}} + \frac{(z-1)+(y-1)}{y^{2}} + \frac{(x-1))+(z-1)}{z^{2}} - (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$= (x-1)(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+(y-1)(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}})+(z-1)(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$\Rightarrow VT \geq \frac{2(x-1)}{xz}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{zy}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ (áp dụng BĐT cô-si)

$= (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})$ (1)

Mặt khác:

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}$ (cái này có nhiều rồi ^^!)

$\Rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq 3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})$ (2)

* từ giả thiết ta lại có: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} = 1$ (3)

từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow VT \geq \sqrt{3}-2$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongst007: 27-06-2012 - 10:39

[KietLW9]

Cho $x>1,y> 1,z> 1;x+y+z=xyz$. CMR:
$\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}\geq \sqrt{3}-2$

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$

$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$

$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$

hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$