Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn ĐT Olympic 30/4/2011 lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Ngày 21/02/2011

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4421 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-02-2012 - 16:55

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {y^2}} } \right) \\
\frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + \sqrt {xy} } }} \\
\end{array} \right.\]

Câu 2: (4 điểm)
Cho đa thức có hệ số nguyên dương $P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^m {{a_i}{x^i}}$, với $m \geq 2; n\in \mathbb{N}^*; n>1$ sao cho $(a_1;n)=1$ và $a_2;a_3;...;a_m$ chia hết cho mọi ước nguyên tố của $n$.
Phương trình $P(x)-yn^{2012}=0$ có nghiệm $(x;y) \in {\mathbb{N}^*}{\rm{x}}{\mathbb{N}^*}$ không?

Câu 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (I;R) và đường thẳng $\Delta$ với $d(I;\Delta)=d>R$. 2 điểm M,N chạy trên $\Delta$ sao cho đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc ngoài với (I).
Chứng minh tồn tại 1 điểm cố định nhìn tất cả các đoạn MN dưới một góc không đổi.

Câu 4: (3 điểm)
Xác định số thực $m$ lớn nhất sao cho với mọi $\vartriangle ABC$ nhọn, ta có:
\[\left( {\tan A + \tan B - \sin C} \right)\left( {\tan B + \tan C - \sin A} \right)\left( {\tan C + \tan A - \sin B} \right) \ge m\left( {\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \right)\]

Câu 5: (3 điểm)
Bạn tham gia một trò chơi với bộ bài gồm $m$ lá cơ và $n$ lá ách ($m>n$). Đầu tiên bạn có 10 điểm. Sau đó, bạn rút 1 lá bài từ bộ bài, rồi rút tiếp 1 lá bài khác từ phần còn lại, cứ tiếp tục như thế cho đến lá bài cuối. Mỗi lần rút được lá cơ thì bạn được cộng 1 điểm, nếu rút được lá ách thì bị trừ 1 điểm. Cách tính điểm đó áp dụng cho đến cả lá bài cuối cùng còn lại.
Có bao nhiêu cách rút bài sao cho sau mỗi lần rút bài, số điểm bạn đạt được không âm?

Câu 6: (3 điểm)
Cho song ánh $f$ từ $X = \left\{ {1;2;..;n} \right\}$ vào $X$. Với $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu:
\[{f^n} = f \circ f \circ ... \circ f\]
\[{f^{ - n}} = {\left( {{f^{ - 1}}} \right)^n};{f^o} = id\]
a) Chứng minh: \[{f^m} \circ {f^n} = {f^{m + n}},\forall m,n \in \mathbb{Z}\]
b) Chứng minh: tồn tại $k \in \mathbb{N}^*$ sao cho $f^k(x)=x,\forall x \in X$

- Hết -


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 22-02-2012 - 17:56

Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {y^2}} } \right) \\
\frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + \sqrt {xy} } }} \\
\end{array} \right.\]

Điều kiện $1\geq x,y\geq 0$ $\Rightarrow xy\leq 1$ (*)
Nhận xét với (*) ta có $\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}$
Với điều kiện (*) sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$(\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}})^2\leq 2(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1})$ (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y
Dễ dàng cm được $(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{x+1})\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ (biến đổi tương đương là ra) (2)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y
(1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Suy ra hệ đã cho tương đương \[
\left\{ \begin{array}{l}
x = y \\
\sqrt {1 + \sqrt {1 - x^2 } } = x(1 + 2\sqrt {1 - y^2 } ) \\
\end{array} \right.
\]

Ta có: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-x^2})$
(Bình phương nhớ kèm đièu kiện)
$\Leftrightarrow 1+\sqrt{1-x^2}=x^2+4\sqrt{1-x^2}+1-x^2\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}=4x^2\sqrt{1-x}$
Tới đây mời mọi người giải tiếp bi giờ đi học rồi :D

Bạn Gadget xem lại chỗ bình phương nhé! the mình thì chỗ ấy đặt x=cost thì giải nhanh hơn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 29-11-2012 - 12:43

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh