Chủ đề này có 1 trả lời

[HAHHA]

Huy tích cực "hậy". Tặng này :
Với mọi số dương $a, b, c$, ta có :
$$\dfrac{a(a + c)}{b(b + c)} + \dfrac{b(b + a)}{c(c + a)} + \dfrac{c(c + b)}{a(a + b)} \ge \dfrac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ca}$$

[Tham Lang]

Cảm ơn nhiều !
Giải
Ta có :
:
$$\left (\dfrac{a(a + c)}{b(b + c)} + \dfrac{b(b + a)}{c(c + a)} + \dfrac{c(c + b)}{a(a + b)}\right )\left (ab(a + c)(b + c) + bc(b + a)(c + a) + ca(c + b)(a + d) \right )$$ $$ \ge \left (a(a + c) + b(b + a) +c(c + b)\right )^2 = \left (\sum{a^2} + \sum{ab} \right )^2$$
Ta sẽ chứng minh
$$\left (\sum{a^2} + \sum{ab} \right )^2 \ge \dfrac{3(a^2 + b^2 + c^2)(ab(a + c)(b + c) + (bc(b + a)(c + a) + ca(c + b)(a + d))}{(ab + bc + ca)}$$ $$\Leftrightarrow \left (\sum{a^2} + \sum{ab} \right )^2(ab + bc + ca) \ge 3(a^2 + b^2 + c^2)(ab(a + c)(b + c) + (bc(b + a)(c + a) + ca(c + b)(a + d))$$
Thật vậy $$\left (\sum{a^2} + \sum{ab} \right )^2 \ge 4(a^2 + b^2 + c^2)(ab + bc + ca)$$
Như vậy, chỉ còn chứng minh :$$4(ab + bc + ca)^2 \ge 3(ab(a + c)(b + c) + (bc(b + a)(c + a) + ca(c + b)(a + d)) $$ $$\Leftrightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge abc(a + b + c)$$
Đúng theo $AM-GM$
Vậy bđt đã được chứng minh .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 24-02-2012 - 17:31