$$3\left (a^3b + b^3c + c^3a \right ) \ge \left (a^2 + b^2 + c^2 \right )\left (ab + bc + ca \right )$$
#1
Đã gửi 26-02-2012 - 10:53
$$3\left (a^3b + b^3c + c^3a \right ) \ge \left (a^2 + b^2 + c^2 \right )\left (ab + bc + ca \right )$$
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#2
Đã gửi 27-02-2012 - 01:41
(a2+b2+c2)(ab+bc+ca)$\leq$(a2+b2+c2)2
lai co
2(a2+b2+c2)-6(a3b+b3c+c3a)
=(a2-2ab+bc+ac-c2)2+(b2-2bc+ac+ab-a2)2+(c2-2ac+ab+bc-b2)2$\geq$0
tu day ta co dpcmBài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimyenvietvnn: 27-02-2012 - 01:49
#3
Đã gửi 27-02-2012 - 16:40
Chỗ này không chuẩn , và với bài này, khi vận dụng bđt $Vasile$ $Cirtoaje$ lên trên thì không thể chứng minh được bài toán, vì sẽ ngược dấu(a2+b2+c2)(ab+bc+ca)$\leq$(a2+b2+c2)2
lai co
2(a2+b2+c2)-6(a3b+b3c+c3a)
=(a2-2ab+bc+ac-c2)2+(b2-2bc+ac+ab-a2)2+(c2-2ac+ab+bc-b2)2$\geq$0
tu day ta co dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 27-02-2012 - 16:41
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#4
Đã gửi 27-02-2012 - 23:45
Vậy thì đúng chuẩn thì thế nào?Chỗ này không chuẩn , và với bài này, khi vận dụng bđt $Vasile$ $Cirtoaje$ lên trên thì không thể chứng minh được bài toán, vì sẽ ngược dấu
Mong anh trình bày cách giải luôn. cám ơn!
#5
Đã gửi 27-02-2012 - 23:58
Anh đưa bài này lên để mọi người giải, vừa mới hôm qua nên anh không giải vội. Đến khi bó tay thì anh sẽ post, mong em thông cảm và cố gắng suy nghĩ nhé !Vậy thì đúng chuẩn thì thế nào?
Mong anh trình bày cách giải luôn. cám ơn!
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#6
Đã gửi 29-02-2012 - 17:48
Bất đẳng thức tuơng đương với
$\sum_{cyc}(\frac{b^{2}+c^{2}+ab+bc-a^{2}-ac}{2})(a-b)^{2}\geq 0$
Đặt $S_{a}=\frac{b^{2}+c^{2}+ab+bc-a^{2}-ac}{2}$
$S_{b}=\frac{a^{2}+c^{2}+ca+bc-b^{2}-ab}{2}$
$S_{c}=\frac{a^{2}+b^{2}+ca+ba-c^{2}-cb}{2}$
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow S_{a}\leq S_{b}\leq S_{c}$
Dễ thấy $S_{a}+S_{b}\geq 0,S_{c}\geq 0$
$\Rightarrow S_{a}(a-b)^{2}+S_{b}(b-c)^{2}+S_{c}(c-a)^{2}\geq (a-b)^{2}(S_{a}+S_{b})+S_{c}(c-a)^ {2 } \Rightarrow ĐPCM$
Trường hợp còn lại tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 29-02-2012 - 17:49
- Tham Lang, nguyenhongsonk612 và dogsteven thích
#7
Đã gửi 21-09-2014 - 23:07
Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng :
$$3\left (a^3b + b^3c + c^3a \right ) \ge \left (a^2 + b^2 + c^2 \right )\left (ab + bc + ca \right )$$
Mình xin có cách khác
Không mất tính tổng quát giả sử $c$ nằm giữa $a,b$ $2c\geq max\left \{ a,b,c \right \}$ vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác
Ta có:$a^3b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c)=c(a-b)^2(a+b)+a(a+c)(a-c)(b-c)$
$ab^3+bc^3+ca^3-abc(a+b+c)=c(a-b)^2(a+b)+b(b+c)(a-c)(b-c)$
Nên bất đẳng thức tương đương với
$c(a-b)^2(a+b)\geq (a-c)(c-b)\left [ 2a(a+c)-b(b+c) \right ]$
Do $c$ nằm giữa $a,b$ nên theo bđt cô si có:
$(a-b)^2=\left [ (a-c)+(c-b) \right ]^2\geq 4(a-c)(b-c)\geq 0$
hay ta phải chứng minh:$4c(a+b)\geq 2a(a+c)-b(b+c)$
<=>$b^2+5bc+2a(c-a)\geq 0$
Nếu $b\geq c\geq a$ thì bất đẳng thức đúng
Nếu $a\geq c\geq b$ ta có:
$b^2+5bc+2a(c-a)\geq (a-c)^2+5(a-c)c-2a(a-c)=(a-c)(4c-a)\geq 0$ từ đó có điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c=>đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 05-07-2015 - 02:48
- nguyenhongsonk612, VuDucTung và ducanh1980 thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTại đây
#8
Đã gửi 05-07-2015 - 00:29
Mình xin có cách khác
Không mất tính tổng quát giả sử $c$ nằm giữa $a,b$ $2c\geq max\left \{ a,b,c \right \}$ vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác
Ta có:$a^3b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c)=c(a-b)^2(a+b)+a(a+c)(a-c)(b-c)$
$ab^3+bc^3+ca^3-abc(a+b+c)=c(a-b)^2(a+b)+b(b+c)(a-c)(b-c)$
Nên bất đẳng thức tương đương với
$c(a-b)^2(a+b)\geq (a-c)(c-b)\left [ 2a(a+c)-b(b+c) \right ]$
Do $c$ nằm giữa $a,b$ nên theo bđt cô si có:
$(a-b)^2=\left [ (a-c)+(c-b) \right ]^2\geq 4(a-c)(b-c)\geq 0$
hay ta phải chứng minh:$4c(a+b)\geq 2a(a+c)-b(b+c)$
<=>$b^2+5bc+2a(c-a)\geq 0$
Nếu $b\geq c\geq a$ thì bất đẳng thức đúng
Nếu $a\geq c\geq b$ ta có:
$b^2+5bc+2a(c-a)\geq (a-c)^2+5(a-c)c-2a(a-c)=(a-c)(4c-a)\geq 0$ từ đó có điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c=>Q.E.D$
Tùng ơi (a-c)(b-c)<=0 mà
#9
Đã gửi 05-07-2015 - 08:46
Tùng ơi (a-c)(b-c)<=0 mà
Thì đúng là thế, nhưng có vấn đề gì hả bác.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh