Chủ đề này có 1 trả lời

[khacduongpro_165]

Tìm tất cả các hàm $f(x)$ khả vi cấp hai trên $[a,b]$ thoả mãn $f(a)=f(b)=0$ và
$f"(x)=e^x.f(x)$

[fghost]

Tìm tất cả các hàm $f(x)$ khả vi cấp hai trên $[a,b]$ thoả mãn $f(a)=f(b)=0$ và
$f"(x)=e^x.f(x)$

Vì f khả vi đến ít nhất bậc 2, nên f liên tục trên đoạn [a,b], mà [a,b] đóng và bị chặn, nên f phải đạt cực trị trên đoạn [a,b].


Nếu f đạt cực đại và cực tiểu giá trị đều là 0, thì f là hàm hằng.

Không mất tính tổng quát, giả sử f đạt cực tiểu tại c' với $f(c') \ne 0$, và ta cũng có $f'(c')=0$.

Nếu $f(c')<0$, dễ thấy $f''(c')=e^c*f(c') < 0$ mà $f'(c')=0$ nên f đạt cực đại tại c. Vì f đạt cực đại và cực tiểu tại cùng 1 giá trị, f là hàm hằng.

Nếu $f(c')>0$, vì vậy f đạt cực đại dương, tại 1 điểm d nào đó. Ta có $f(d)>0$ và $f'(d)=0$, mà $f''(d)=e^d*f(d)>0$ nên f đạt cực tiểu tại d. Vì vậy f lại là hàm hằng.

Trong mọi trường hợp, f là hàm hằng, và f(a)=0, f liên tục trên $[a,b]$ nên $f=0$ trên $[a,b]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 29-02-2012 - 03:56