Chứng minh rằng :
Tồn tại vô số cặp số nguyên dương phân biệt $(a;b)$ thoả mãn :
$ a+b | ab+1 \ \ ; a-b| ab-1 \ \ ; 1<b$ và :
$ b \cdot \sqrt{3}-1<a$
#2
Đã gửi 29-02-2012 - 21:29
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
lâu lâu vào làm thử 1 bài @@
$a+b|ab+1$ nên $a+b|b(a+b)-ab-1=b^2-1$
tương tự ta có $a-b|b^2-1$, chú ý $(a+b,a-b)|2$ do (a,b)=1 suy ra $a^2-b^2|2(b^2-1)$
xài cái bất pt ở dưới, ta suy ra luôn phải chọn (a,b) để $a^2-b^2=2b^2-2$ hay là $a^2=3b^2-2$ (có nghiệm (1,1) nên hiển nhiên vô số nghiệm). Ta chỉ cần kiểm tra xem (a,b) có t/m 2 đk đầu ko
đến đây ta có a,b đồng dư mod 2 hay tồn tại (x,y) để
$a=x+y, b=x-y$ suy ra $x^2+y^2-4xy=1$ nên ta có ngay 2 đk ban đầu t/m
ĐPCM
(làm vội nên ko chắc)
$a+b|ab+1$ nên $a+b|b(a+b)-ab-1=b^2-1$
tương tự ta có $a-b|b^2-1$, chú ý $(a+b,a-b)|2$ do (a,b)=1 suy ra $a^2-b^2|2(b^2-1)$
xài cái bất pt ở dưới, ta suy ra luôn phải chọn (a,b) để $a^2-b^2=2b^2-2$ hay là $a^2=3b^2-2$ (có nghiệm (1,1) nên hiển nhiên vô số nghiệm). Ta chỉ cần kiểm tra xem (a,b) có t/m 2 đk đầu ko
đến đây ta có a,b đồng dư mod 2 hay tồn tại (x,y) để
$a=x+y, b=x-y$ suy ra $x^2+y^2-4xy=1$ nên ta có ngay 2 đk ban đầu t/m
ĐPCM
(làm vội nên ko chắc)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 29-02-2012 - 21:30
- Zaraki và nhungvienkimcuong thích
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#3
Đã gửi 29-02-2012 - 21:42
PSW
-
- Quản trị
-
- 493 Bài viết
Những bài toán trong tuần
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
