$P = \frac{2(x+y+z)^{3}+9xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$
MOD: CÔng thức kẹp bởi cặp dấu $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaomta: 04-03-2012 - 23:49
Cho $x, y, z > )$. Tìm GTNN của biểu thức: $P = \frac{2(x+y+z)^{3}+9xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$
Bắt đầu bởi thaomta, 04-03-2012 - 20:48
#1
Đã gửi 04-03-2012 - 20:48
thaomta
-
- Thành viên
-
- 20 Bài viết
Binh nhất
Cho $x, y, z $ > 0. Tìm Min của biểu thức:
$P = \frac{2(x+y+z)^{3}+9xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$
MOD: CÔng thức kẹp bởi cặp dấu $
$P = \frac{2(x+y+z)^{3}+9xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$
MOD: CÔng thức kẹp bởi cặp dấu $
#2
Đã gửi 05-03-2012 - 00:17
le_hoang1995
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
Theo BĐT schur ta có
$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$
Và $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)\Rightarrow (x+y+z)^3\geq 3(x+y+z)(xy+yz+xz)$
Vậy dễ thấy $P\geq \frac{7(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}=7$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$
$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$
Và $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)\Rightarrow (x+y+z)^3\geq 3(x+y+z)(xy+yz+xz)$
Vậy dễ thấy $P\geq \frac{7(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}=7$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$
- Ispectorgadget yêu thích
#3
Đã gửi 05-03-2012 - 00:20
kobietlamtoan
-
- Thành viên
-
- 112 Bài viết
Trung sĩ
ta c/m $P \geq 7$ thật vậy
$P-7= (\frac{2(x+y+z)^2}{xy+yz+zx} - 6) + (\frac{9xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)} - 1)$
$=\frac{(x-y)^2 + (y-z)^2+(z-x)^2}{xy+yz+zx} - \frac{x(y-z)^2 + y(z-x)^2+z(x-y)^2}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$
$=\sum \frac{(x-y)^2}{xy+yz+zx}(1-\frac{z}{x+y+z})$
$=\sum \frac{(x-y)^2}{xy+yz+zx}.\frac{x+y}{x+y+z}$ $\geq 0$
Hay $P\geq 7$ Dấu = xảy ra khi x=y=z
$P-7= (\frac{2(x+y+z)^2}{xy+yz+zx} - 6) + (\frac{9xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)} - 1)$
$=\frac{(x-y)^2 + (y-z)^2+(z-x)^2}{xy+yz+zx} - \frac{x(y-z)^2 + y(z-x)^2+z(x-y)^2}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$
$=\sum \frac{(x-y)^2}{xy+yz+zx}(1-\frac{z}{x+y+z})$
$=\sum \frac{(x-y)^2}{xy+yz+zx}.\frac{x+y}{x+y+z}$ $\geq 0$
Hay $P\geq 7$ Dấu = xảy ra khi x=y=z
Nghiêm Văn Chiến 97
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
