Chủ đề này có 3 trả lời

[MathamaticsSoul]

Cm BĐT:
$P=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+....+ \frac{1}{n^{2}}<\frac{5}{3} (n\epsilon N, n\geq1)$

[Ispectorgadget]

Cm BĐT:
$P=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+....+ \frac{1}{n^{2}}<\frac{5}{3} (n\epsilon N, n\geq1)$

Với mọi $k\geq 1$ ta có
$\frac{1}{k^2}=\frac{4}{4k^2}<\frac{4}{4k^2-1}=2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$
Cho $k=2,3,4,...,n$ ta có
$\frac{1}{2^2}=\frac{4}{4.2^2}<\frac{4}{4.2^2-1}=\frac{2}{2.2-1}-\frac{2}{2.2+1}=\frac{2}{3}-\frac{2}{5}$
$\frac{1}{3^2}=\frac{4}{4.3^2}<\frac{4}{4.3^2-1}=\frac{2}{2.3-1}-\frac{2}{2.3+1}=\frac{2}{5}-\frac{2}{7}$
..............................................
$\frac{1}{n^2}=\frac{4}{4n^2}<\frac{4}{4n^2-1}=\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}$
Cộng lài ta được$VT<1+\frac{2}{3}-\frac{2}{2n+1}<1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$
Đpcm $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2012 - 22:08

[Ispectorgadget]

Cách khác

Hì em chém bài dễ nhất
Bài 231: $n=1,2,3,4,5$ tính ra thấy đúng
$n\geq 6$
$$1\le A=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{5.6}+\dfrac{1}{6.7}+...+$$
$$\dfrac{1}{(n-1)n}=\dfrac{5269}{3600}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{n}<\dfrac{5269}{3600}+\dfrac{1}{5}<\dfrac{5}{3} \rightarrow Q.E.D$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2012 - 21:47

[Crystal]

Nói thêm (ngoài kiến thức THCS )

Biểu thức $P$ chính là hàm Zeta cấp 2.

Người ta chứng minh được: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} } \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}$$
Từ đó suy ra đpcm.