Chủ đề này có 1 trả lời

[Đoàn Quốc Việt]

Cho tam giac cân $ABC$ tại $A$. Đường phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $M$ sao cho $BC = BM+AM$. Tính các góc của tam giác.

[perfectstrong]

Bài này không biết có sai đề không mà góc khá lẻ. Mình trình bày theo cách của mình để tìm góc.
Lời giải:
Đặt $BC=a;AB=AC=b;\dfrac{\angle ABC}{2}=\alpha$. Vẽ phân giác góc C cắt BM tại I.
Theo công thức phân giác, ta có:
\[BM = \frac{{2ab\cos \alpha }}{{a + b}}\]
\[\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{{AM}}{b} = \frac{b}{{a + b}} \Leftrightarrow AM = \frac{{{b^2}}}{{a + b}} \Rightarrow CM = \frac{{ab}}{{a + b}}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
BC = BM + AM \\
\Leftrightarrow a = \frac{{2ab\cos \alpha }}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} \Leftrightarrow {a^2} + ab = 2ab\cos \alpha + {b^2} \\
\Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{{a^2} + ab - {b^2}}}{{2ab}}\left( 1 \right) \\
\end{array}\]
Lại có:
\[\begin{array}{l}
\frac{{BI}}{{MI}} = \frac{{BC}}{{CM}} = \frac{a}{{\frac{{ab}}{{a + b}}}} = \frac{{a + b}}{b} \Leftrightarrow \frac{{BI}}{{BM}} = \frac{{a + b}}{{a + 2b}} \Leftrightarrow BI = \frac{{BM\left( {a + b} \right)}}{{a + 2b}} \\
\cos \alpha = \frac{a}{{2BI}} = \frac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{{2BM\left( {a + b} \right)}} = \frac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{{4ab\cos \alpha }} \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{{4ab}}\left( 2 \right) \\
\end{array}\]
Từ (1),(2) ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left( {\frac{{{a^2} + ab - {b^2}}}{{2ab}}} \right)^2} = \frac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{{4ab}} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + ab - {b^2}} \right)^2} = {a^2}b\left( {a + 2b} \right) \\
\Leftrightarrow {a^4} + {a^3}b - 3{a^2}{b^2} - 2a{b^3} + {b^4} = 0 \\
\end{array}\]
Đặt $\cos ABC=\dfrac{a}{2b}=t$, pt trở thành:
\[16{t^4} + 8{t^3} - 12{t^2} - 8t + 1 = 0\]
Pt này có nghiệm không đơn giản chút nào, bạn coi lại đề giúp mình. Cảm ơn!