Chủ đề này có 1 trả lời

[catbuilts]

Cho $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$

Chứng minh rằng
$\frac{a}{a+b} +\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

[Ispectorgadget]

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$ đúng với x,y dương và $xy\geq 1$
Câu b có khá nhiều cách
Ở đây mình trình bày cách sử dụng dồn biến
Gọi VT là K
$K(a;b;c)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Giả sử a=max {a;b;c}
Ta sẽ cm: $K(a;b;c)\geq K(a;b;\sqrt{ab})\geq \frac{22}{15}$
Ta có: $K(a;b;c)-K(a;b;\sqrt{ab})=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(b+c)(c+a)}\geq 0$
Đặt $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ . Do a,b,c thuộc $[\frac{1}{2};2]$ do đó $2\geq x$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{22}{15}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{22}{15}$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{-7x^3+23x^2+8-22x}{15(x^2+1)(x+1)}=\frac{(2-x)(7x^2-9x+4)}{15(x^2+1)(x+1)}\geq 0$
Do đó BĐT được cm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2;b=\frac{2}{9};c=\frac{2}{3}$