Tìm max của $M=11xy+3xz+2012yz$ biết $x,y,z$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $x+y+z=1000$
Tìm max của $M=11xy+3xz+2012yz$
Bắt đầu bởi toilaab, 12-03-2012 - 15:39
#2
Đã gửi 12-03-2012 - 15:47
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Bài này hình như là đề HOMO junior vừa diễn ra hôm qua xong mà, mình làm xem có đúng không
Thay $x=1000-y-z$ khi đó
$$M=11(1000-y-z)y+3(1000-y-z)z+2012yz=3000(y+z)+8000y-(3y^2+3z^2)-8y^2+1998yz$$
$$M=3000(y+z)-(3y^2+3z^2-6zy)-8[(y-500)^2-500^2]+1992yz=3000(y+z)-3(y-z)^2-8[(y-500)^2-500^2]+1992yz$$
Nhận xét $x\geq 0 \rightarrow y+z\le 1000$ <1>
Khi đó
$3000(y+z)\le 3000.1000$
$1992yz\le 1992(\dfrac{y+z}{2})^2\le 1992.500^2$ (do <1>)
$-3(y-z)^2\le 0$
$-8[(y-500)^2-500^2]\le -8(-500^2)=8.500^2$
Khi đó $M\le 2012.500^2$
Dấu $=$ khi $y=z=500,x=0$
P/S mọi người xem dùm em có đúng ko?
Thay $x=1000-y-z$ khi đó
$$M=11(1000-y-z)y+3(1000-y-z)z+2012yz=3000(y+z)+8000y-(3y^2+3z^2)-8y^2+1998yz$$
$$M=3000(y+z)-(3y^2+3z^2-6zy)-8[(y-500)^2-500^2]+1992yz=3000(y+z)-3(y-z)^2-8[(y-500)^2-500^2]+1992yz$$
Nhận xét $x\geq 0 \rightarrow y+z\le 1000$ <1>
Khi đó
$3000(y+z)\le 3000.1000$
$1992yz\le 1992(\dfrac{y+z}{2})^2\le 1992.500^2$ (do <1>)
$-3(y-z)^2\le 0$
$-8[(y-500)^2-500^2]\le -8(-500^2)=8.500^2$
Khi đó $M\le 2012.500^2$
Dấu $=$ khi $y=z=500,x=0$
P/S mọi người xem dùm em có đúng ko?
- perfectstrong, Trần Đức Anh @@, Tham Lang và 5 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
