Chủ đề này có 3 trả lời

[phuc_90]

Cùng thảo luận cho vui nào mọi người @_^)

Cho $X$ là không gian metric và dãy tập hợp $ \{ K_n \} $ $ \subset X $ , ta định nghĩa

a) $d\left(x , K_n \right) = \inf_{y \in K_n} \ \ d(x,y)$

b) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ sup \ \ K_n = \{ x \in X \mid \lim_{n \rightarrow 0} \ \ d \left(x,K_n \right)=0 \}$

c) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ inf \ \ K_n = \{ x \in X \mid \lim_{n \rightarrow 0} \ \ inf \ \ d\left(x,K_n \right)=0 \}$

Chứng minh rằng :

1) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ sup \ \ K_n$ là tập mọi điểm tụ của các dãy $\{x_n \} \subset K_n$

2) $\forall \epsilon>0 , \exists \ \ N(\epsilon) , \forall n> N(\epsilon) : x_n \in B\left(K_n , \epsilon \right)$ với $B\left(K_n , \epsilon \right) =\{x \in X \mid d\left(x , K_n \right) < \epsilon \}$

3) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ sup \ \ K_n = \bigcap_{\epsilon>0} \ \ \bigcap_{N>0} \ \ \bigcup_{n>N} \ \ B\left(K_n , \epsilon \right)$

4) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ inf \ \ K_n = \bigcap_{\epsilon>0} \ \ \bigcup_{N>0} \ \ \bigcap_{n>N} \ \ B\left(K_n , \epsilon \right)$

[phuc_90]

Cùng thảo luận cho vui nào mọi người @_^)

Cho $X$ là không gian metric và dãy tập hợp $ \{ K_n \} $ $ \subset X $ , ta định nghĩa

a) $d\left(x , K_n \right) = \inf_{y \in K_n} \ \ d(x,y)$

b) $\lim_{n \rightarrow \infty} \ \ sup \ \ K_n = \{ x \in X \mid \lim_{n \rightarrow \infty} \ \ d \left(x,K_n \right)=0 \}$

c) $\lim_{n \rightarrow \infty} \ \ inf \ \ K_n = \{ x \in X \mid \lim_{n \rightarrow \infty} \ \ inf \ \ d\left(x,K_n \right)=0 \}$

Chứng minh rằng :

1) $\lim_{n \rightarrow \infty} \ \ sup \ \ K_n$ là tập mọi điểm tụ của các dãy $\{x_n \} \subset K_n$

Không thấy bạn nào giải hết vậy ta @_^)

Mình giải câu 1) cho khí nóng lên tí nhé.

Tập mọi điểm tụ của các dãy $x_n \subset K_n$ là $A=\{x \in X \mid \forall r>0 : B(x,r) \bigcap K_n \ne \emptyset ,\ \ n \in N \}$

Lấy $x \in \lim_{n \rightarrow \infty} \ \ sup \ \ K_n$, khi đó $\lim_{n \rightarrow \infty} \ \ d \left(x,K_n \right)=0$

hay $\forall \epsilon >0, \ \ \exists N(\epsilon) \ \ : d \left(x,K_n \right) < \epsilon \ \ \forall n \geq N(\epsilon) $

Phản chứng .Giả sử $x \notin A$ nghĩa là $\exists r>0 : B(x,r) \bigcap K_n = \emptyset ,\ \ \forall n \in N$ khi đó $y \notin B(x,r) , \ \ \forall y \in K_n , \ \ \forall n \in N$

hay $d(x,K_n) \geq r , \ \ \forall n \in N$

Bây giờ ta chọn $\epsilon=r$ thì ta có điều vô lý.

Vậy bắt buộc $x \in A$

Ta đã chứng minh được $\lim_{n \rightarrow \infty} \ \ sup \ \ K_n \subset A$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh chiều ngược lại

Lấy $x \in A$ tức là $\forall r>0 : B(x,r) \bigcap K_n \ne \emptyset ,\ \ n \in N$

khi đó $0 \leq d(x,K_n) \leq r , \ \ \forall r>0$

suy ra $d(x,K_n)=0$ hay $\lim_{n \rightarrow \infty} d(x,K_n) =0$

Do đó $x \in \lim_{n \rightarrow \infty} \ \ sup \ \ K_n$

Vậy $A \subset \lim_{n \rightarrow \infty} \ \ sup \ \ K_n$

Câu 1) đã được chứng minh.

Các câu tiếp theo cũng không khó lắm đâu các bạn @_^)

[Draconid]

Anh phúc có tài liệu chi tiết về không gian metric ko gửi cho em. Em mới học cái này nhưng trên khoa ít tài liệu quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Draconid: 15-04-2012 - 19:18

[phuc_90]

Em cần tài liệu tiếng anh hay tiếng việt ? Tối nay anh gửi lên luôn @_^)