Cùng thảo luận cho vui nào mọi người @_^)
Cho $X$ là không gian metric và dãy tập hợp $ \{ K_n \} $ $ \subset X $ , ta định nghĩa
a) $d\left(x , K_n \right) = \inf_{y \in K_n} \ \ d(x,y)$
b) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ sup \ \ K_n = \{ x \in X \mid \lim_{n \rightarrow 0} \ \ d \left(x,K_n \right)=0 \}$
c) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ inf \ \ K_n = \{ x \in X \mid \lim_{n \rightarrow 0} \ \ inf \ \ d\left(x,K_n \right)=0 \}$
Chứng minh rằng :
1) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ sup \ \ K_n$ là tập mọi điểm tụ của các dãy $\{x_n \} \subset K_n$
2) $\forall \epsilon>0 , \exists \ \ N(\epsilon) , \forall n> N(\epsilon) : x_n \in B\left(K_n , \epsilon \right)$ với $B\left(K_n , \epsilon \right) =\{x \in X \mid d\left(x , K_n \right) < \epsilon \}$
3) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ sup \ \ K_n = \bigcap_{\epsilon>0} \ \ \bigcap_{N>0} \ \ \bigcup_{n>N} \ \ B\left(K_n , \epsilon \right)$
4) $\lim_{n \rightarrow 0} \ \ inf \ \ K_n = \bigcap_{\epsilon>0} \ \ \bigcup_{N>0} \ \ \bigcap_{n>N} \ \ B\left(K_n , \epsilon \right)$