Chủ đề này có 1 trả lời

[thang96]

Cho a, b,c la ba canh cua mot tam giac. Chung minh
$a\left ( \frac{1}{3a+b} +\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c}\right )+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}<2$

[Tham Lang]

Giải :
Sử dụng $a > b - c, a > c - b$ và $2a + b + c > 2a + b, 2a + b + c > 2a + c$, ta có :
$$VT = \dfrac{a}{a + 2a + b} + \dfrac{a}{a + 2a + c} + \dfrac{2a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{a + 2a + c} + \dfrac{c}{a + 2a + b} $$ $$< \dfrac{a}{2a + c - b + b} + \dfrac{a}{2a + b - c + c} + \dfrac{2a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2a + b - c + c} + \dfrac{c}{2a + c - b + b}$$ $$ = \dfrac{a}{2a + b} + \dfrac{a}{2a + c} + \dfrac{2a}{a + b + c} + \dfrac{b}{2a + b} + \dfrac{c}{2a + c}$$ $$ = \left (\dfrac{a}{2a + b} + \dfrac{b}{4a + 2b}\right ) + \left (\dfrac{a}{2a + c} + \dfrac{c}{4a + 2c} \right ) + \left (\dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{4a + 2b} \right ) + \left (\dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{c}{4a + 2c}\right ) $$ $$< \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \left (\dfrac{a}{2a + b} + \dfrac{b}{4a + 2b} \right ) + \left (\dfrac{a}{2a + c} + \dfrac{c}{4a + 2c}\right ) $$ $$= 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$$
Bất đẳng thức được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 18-03-2012 - 04:22