Bài 1. (4 điểm)
a. Rút gọn biểu thức sau: $A = \sqrt {\frac{{8 + \sqrt {15} }}{2}} + \sqrt {\frac{{8 - \sqrt {15} }}{2}} $
b. Giải phương trình: $\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} + {x^2} - 16 = 0$
Bài 2. (4 điểm)
a. Chứng minh rằng ${n^3} - n$ chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên $n$ lẻ.
b. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $${a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}$$
Chứng minh rằng nếu $c \geqslant a$ và $c \geqslant b$ thì $c \geqslant a+b$
Bài 3. (3 điểm)
Cho phương trình ${x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 6 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ sao cho biểu thức $A = \left( {x_1^2 - 9} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. (6 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat {BAC} = {20^0},AB = AC = b$ và $BC=a$. Chứng minh rằng: $${a^3} + {b^3} = 3a{b^2}$$
b. Cho hai điểm $A, B$ thuộc đường tròn $(O)$ ($AB$ không qua $O$) và có hai điểm $C, D$ di động trên cung lớn $AB$ sao cho $AD // BC$ ($C, D$ khác $A, B$ và $AD > BC$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $AC$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$
b.1. Chứng minh ba điểm $I, O, M$ thẳng hàng.
b.2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ không đổi.
Bài 5. (3 điểm)
Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy = 1$. Chứng minh rằng $$\left( {x + y + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{4}{{x + y}} \geqslant 8$$
[center]-------------HẾT-------------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 19-03-2012 - 15:09