70 replies to this topic

[Bong hoa cuc trang]

Bài1: Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $(a,b,c,d\neq 0;a\neq \pm b;c\pm d)$ hãy suy ra các tỉ lệ thức sau :

$a)\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d};$

$b) \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d};$

$c)\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c};$

$d)\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c};$

$e)\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$

$f)\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$
Bài2:
Cho $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}. CMR:\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}$

Edited by Bong hoa cuc trang, 29-03-2012 - 19:38.

[Dung Dang Do]

Mấy bài này dễ mà em. ANh chỉ trình bày vài câu. mấy câu còn lại chắc em tự làm đc.
$$a) \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\to\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\iff\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$
$$b \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\to\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1\iff\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$
câu $c,d$ tương tự $a,b$ câu $d,f$ nhân chéo là ra mà.
Câu 2: Gợi ý:
Đặt $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=k \to a=ck;c=bk \to \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{(ck)^2+(bk)^2}{c^2+b^2}=\frac{k^2(b^2+c^2)}{b^2+c^2}=k^2$
Mà $k^2=\frac{a}{b}$

[Bong hoa cuc trang]

Anh hướng dẫn câu $e$ và câu $f$ nào .

[Dung Dang Do]

Ok thưa e.
Nhân chéo ta được:
$e)a(c+d)=(a+b)c\iff ac+ad=ac+bc\iff ad=bc(G.E.D)Because\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
$f)a(c-d)=(a-b)c\iff ac-ad=ac-bc\iff -ad=-bc \iff ad=bc(G.E.D)Because\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

[Bong hoa cuc trang]

Dựa vào sườn bài của nguyenta98ka,Bong hoa cuc trang xin giải 1 lời giải "hoàn chỉnh" .Thôi vào chuyện chính nào
Giải : Bài 1 :

$c)$ Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ta suy ra tỉ lệ thức sau :

$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

$\to 1+\frac{b}{a}=1+\frac{d}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$ $(đpcm)$

$d)$ Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ta suy ra tỉ lệ thức sau :

$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

$\to 1-\frac{b}{a}=1-\frac{d}{c}\Leftrightarrow \frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$ $(đpcm)$

$e)$ Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên :

$ad=bc\Leftrightarrow ad+ac=bc+ac$

$\Leftrightarrow a(d+c)=c(b+a) \Leftrightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ $(đpcm)$

$f)$ Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên :

$ad=bc \Leftrightarrow -ad=-bc \Leftrightarrow ac-ad=ac-bc$

$\Leftrightarrow a(c-d)=c(a-b)\Leftrightarrow \frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$ $(đpcm)$

P/s: Lười quá . Bài 2 post sau vì còn phải nghiên cứu tiếp .

[BlackSelena]

Bài 2 luôn nhé:
Giả thiết cho:
$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$
$\Rightarrow ab=c^{2}$ (nhân chéo là ra)
Thay $c^{2}$ vào $\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}$ , ta có
$\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}$
$=\frac{a^{2}+ab}{b^{2}+ab}$
$=\frac{a(a+b)}{b(a+b)}$

$=\frac{a}{b}$

Edited by BlackSelena, 23-03-2012 - 20:52.

[Bong hoa cuc trang]

Bài 3 : Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} (a\neq c;b\neq \pm d)$ . $CMR$ : $\frac{a+c}{a-c}=\frac{b+d}{b-d}$ .

P/s: Nếu đông câu trả lời và câu hỏi ở đây thì mình lập topic nhé .
__
Cho anh chiếm đất tí: Anh đổi tiêu đề nha. Theo ý của em

Edited by yeutoan11, 29-03-2012 - 11:36.

[Dung Dang Do]

Tuỳ em. Anh giải bày này như sau
Nhân chéo ta có:
$(a+c)(b-d)=(b+d)(a-c) \to ab+cb-ad-cd=ab-cb+ad-cd \to cb-ad=-cd+ad \to cb+cb-ad-ad=0(\to G.E.D)$
$because \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \to ad=bc$

[Bong hoa cuc trang]

Tuỳ em. Anh giải bày này như sau
Nhân chéo ta có:
$(a+c)(b-d)=(b+d)(a-c) \to ab+cb-ad-cd=ab-cb+ad-cd \to cb-ad=-cd+ad \to cb+cb-ad-ad=0(\to G.E.D)$
$because \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \to ad=bc$

Bài này đặt $k$ có được không anh ?

[Bong hoa cuc trang]

Bài 4 : $CMR$ nếu :

$\left\{\begin{matrix} a+c=2b\\ 2bd=c(b+d) \end{matrix}\right.$

thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(b,d\neq 0)$

[ngoc980]

Giải:
$2bd=c(b+d)\Leftrightarrow (a+c)d=c(b+d)\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$
$\Leftrightarrow (a+c)d=(b+d)c\Leftrightarrow ad+cd=bc+cd\Leftrightarrow ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
q.e.d

[sherry Ai]

topic vắng vẻ quá xin đóng góp 1 bài vậy:
Cho biểu thức: $P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{x+t}{z+y}$
Tìm giá trị của P biết rằng:
$\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}$

[cvp]

topic vắng vẻ quá xin đóng góp 1 bài vậy:
Cho biểu thức: $P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{x+t}{z+y}$
Tìm giá trị của P biết rằng:
$\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: $\large \frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3(x+y+z+t)}=\frac{1}{3}$
Suy ra $\large \begin{cases} &3x=y+z+t(1)\\ &3y=x+z+t(2)\\ &3z=x+y+t(3)\\ &3t=x+y+z(4) \end{cases}$.
Từ $(1);(2) \Rightarrow x+y=z+t (*1)$.
Mặt khác từ $\large (1);(4)\Rightarrow x+t=y+z (*2)$
Từ $\large (*1); (*2)\Rightarrow x=z$. Tương tự ta có được $x=y=z=t \Rightarrow P=4$.

[sherry Ai]

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: $\large \frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3(x+y+z+t)}=\frac{1}{3}$
Suy ra $\large \begin{cases} &3x=y+z+t(1)\\ &3y=x+z+t(2)\\ &3z=x+y+t(3)\\ &3t=x+y+z(4) \end{cases}$.
Từ $(1);(2) \Rightarrow x+y=z+t (*1)$.
Mặt khác từ $\large (1);(4)\Rightarrow x+t=y+z (*2)$
Từ $\large (*1); (*2)\Rightarrow x=z$. Tương tự ta có được $x=y=z=t \Rightarrow P=4$.

Bạn mới giải được 1 trường hợp mình xin giải lại hoàn chỉnh bằng 1 cách khác:
Ta có: $\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{x+z+t}+1=\frac{z}{y+x+t}+1=\frac{t}{y+z+x}+1$
=>$\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{x+z+t}=\frac{x+y+z+t}{y+x+t}=\frac{x+y+z+t}{y+z+x}$
Nếu $x+y+z+t\neq 0$ thì y+z+t=x+z+t=y+x+t=y+z+x
=>x=y=z=t nên P=4
Nếu x+y+z+t=0 thì P=-4

[o0o Math Lover o0o]

Bài 2 luôn nhé:
Giả thiết cho:
$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$
$\Rightarrow ab=c^{2}$ (nhân chéo là ra)
Thay $c^{2}$ vào $\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}$ , ta có
$\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}$
$=\frac{a^{2}+ab}{b^{2}+ab}$
$=\frac{a(a+b)}{b(a+b)}$

$=\frac{a}{b}$

cho em hoi tai sao anh lai thay $c^2=\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}$

[chanlonggiangthe]

Đăng một bài cho đỡ chán
Chứng minh$ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{29.30}=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\frac{1}{28}+\frac{1}{29}+\frac{1}{30}$

[Beautifulsunrise]

Đăng một bài cho đỡ chán
Chứng minh$ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{29.30}=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\frac{1}{28}+\frac{1}{29}+\frac{1}{30}$

$ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{29.30}$
$=(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{29})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{30})$
Thêm vào biểu thức bị trừ và biểu thức trừ cùng một lượng là:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{30}$ ta có:
$=(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{29}+\frac{1}{30})-2.(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{30})$
$=(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{29}+\frac{1}{30})-(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{15})$
$=\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+...+\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\frac{1}{28}+\frac{1}{29}+\frac{1}{30}$
BT tổng quát của bài toán trên là:
CMR: $\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{(2k - 1).2k}}} = \sum\limits_{k = 1}^{n} {\frac{1}{k+n}} $

Edited by binhmetric, 13-07-2012 - 15:14.

[chanlonggiangthe]

Dạo này topic không có ai đăng, tôi đăng tạm 1 bài:
$\frac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} < 1$

Edited by L Lawliet, 22-07-2012 - 22:04.

[triethuynhmath]

Dạo này topic không có ai đăng, tôi đăng tạm 1 bài:
$\frac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} < 1$

Chém luôn bài này:
$\frac{1}{n+1\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$
Áp dụng và cộng vế theo vế,ta được :
biểu thức $=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}<1(Q.E.D)$

Edited by triethuynhmath, 23-07-2012 - 00:18.

[nk0kckungtjnh]

xin đóng góp 1 bài:

Cho : $\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b+c}=\frac{z}{4a-4b+c}$

C/m: $\frac{a}{x+2y+z}=\frac{b}{2x+y-z}=\frac{c}{4x-4y+z}$