Chủ đề này có 12 trả lời

[tubmt97]

Em ở Đak Lak. Sáng nay, em mới thi học sinh giỏi cấp tỉnh (chừng nào rảnh em sẽ post cả đề cho mọi người tham khảo) có câu này làm không được:
Chứng minh không tồn tại x, y nguyên thoả: $ x^{2} + y^{2} $ = 2012
Mong mọi người giúp đỡ, càng nhiêu cách càng tốt.
..........................................
Công thức được kẹp vào giữa 2 dấu $$ nha. Lần sau bạn chú ý nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tubmt97: 20-03-2012 - 21:13

[NGOCTIEN_A1_DQH]

ta có:
$ x^2+y^2 $ chia cho 3 không dư 2
2012 chia 3 dư 2
nên PT vô nghiệm

[tubmt97]

ta có:
$ x^2+y^2 $ chia cho 3 không dư 2
2012 chia 3 dư 2
nên PT vô nghiệm

Bạn xem lại nha, ví dụ: x = 3k + 1, y=3h + 1 thì $ x^{2} + y^{2} $ = $ 9k^{2} + 6k +1 +9h^{2} +6h +1 $ chia 3 dư 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 20-03-2012 - 20:58

[nthoangcute]

Mình tiên phong làm cách 1:
Ta có: $x^2+y^2=2012$
Vì
$x^2$ chia 4 dư 0 hoặc 1
$y^2$ chia 4 dư 0 hoặc 1
Do đó :
$x^2+y^2$ chia 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 2
Mà 2012 chia hết cho 4
Suy ra $x^2, y^2$ chia 4 dư 0
Hay $x, y$ chẵn
Đặt $x=2x_1, y=2y_1$
Khi đó PT trở thành:
$x_1^2+y_1^2=503$
Vì 503 là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x_1, y_1$ đều chia hết cho 503 (Tham khảo ở đây:http://diendantoanho...showtopic=67584)
Khi đó đặt: $x_1=503x_2, y_1=503y_2$
Vậy PT trở thành $503(x_2^2+y_2^2)=1$ (Vô lí)
Vậy PT đã cho không có nghiệm nguyên

[nth1235]

Mình chém cách 2 nhé :
Ta có :
Vì ${x}^{2} ; {y}^{2}$ đều là những số chính phương nên chia 4 dư 0;1
$\Rightarrow {x}^{2} + {y}^{2}$ chia 4 dư 0 ; 1 ; 2.
Mà 2012 chia hết cho 4.
Suy ra $ {x}^{2} ; {y}^{2}$ chia hết cho 4.
Hay $x , y$ chẵn.
Khi đó, $x ; y$ có dạng $x = 2m ; y = 2n$
Thay vào phương trình, ta có :
$4{m}^{2} + 4{n}^{2} = 2012 $
$\Leftrightarrow {m}^{2} + {n}^{2} = 503$

Vì ${m}^{2} ; {n}^{2}$ đều là những số chính phương nên chia 4 dư 0;1
$\Rightarrow {m}^{2} + {n}^{2}$ = VT chia 4 dư 0 ; 1 ; 2.
Mà $ VP = 503$ chia 4 dư 3.
Suy ra phương trình vô nghiệm.

[nthoangcute]

Mình có cách 3 nè:
Xét số dư cho 16:
$x^2$ chia 16 dư $0, 1, 4, 9$
$y^2$ chia 16 dư $0, 1, 4, 9$
Suy ra $x^2+y^2$ chia 16 dư $0,1,2,4,5,8,9,10,13$
Mà 2012 chia 16 dư 12
Nên Phương Trình: $x^2+y^2=2012$ không có nghiệm nguyên

[L Lawliet]

Em ở Đak Lak. Sáng nay, em mới thi học sinh giỏi cấp tỉnh (chừng nào rảnh em sẽ post cả đề cho mọi người tham khảo) có câu này làm không được:
Chứng minh không tồn tại x, y nguyên thoả: $ x^{2} + y^{2} $ = 2012
Mong mọi người giúp đỡ, càng nhiêu cách càng tốt.
..........................................
Công thức được kẹp vào giữa 2 dấu $$ nha. Lần sau bạn chú ý nha

Mình ở Đăk Lak luôn nè . Mình thấy các bạn khác cũng giải bài này ra rồi nhưng mình vẫn xin làm mong mọi người cho phép .
*Cách 1:
Để ý thấy VP chia hết cho 4 nên nếu phương trình có nghiệm nguyên thì $x^2\vdots 4; y^2\vdots 4$
Đặt: $x^2=4k^2; y^2=4h^2$ với: $k, h\in Z$
Khi đó phương trình trở thành:
$4k^2+4h^2=2012$
$\Leftrightarrow k^2+h^2=503$
Vậy $k^2$ và $h^2$ có chữ số tận cùng là $1$ và $2$ (vô lý vì không có số chính phương nào có chữ số tận cùng là $2$)
Vậy phương trình trên không có nghiệm nguyên.
*Cách 2: (cách này mình nghĩ ra không biết sử dụng được không)
Nếu phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì theo phương trình Py-ta-go (xem thêm trong sách Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải của thầy Vũ Hữu Bình) ta có:
$x^2+y^2=z^2$ ($z\in Z$)
Mặt khác: $2012$ không phải là số chính phương nên ta có ĐPCM.

[minhtuyb]

Mình thấy cả hai cách của bạn đều không ổn ="=. Nêu 2 phản chứng vậy
C1: $2^2+3^2=13$. VP có tận cùng là 3 mà các hạng tử vế trái đâu nhất thiết có tận cùng 1,2
C2: Pt $a^2+b^2=5$ vẫn có nghiệm nguyên mặc dù không phải là pt Py-ta-go

[L Lawliet]

Mình thấy cả hai cách của bạn đều không ổn ="=. Nêu 2 phản chứng vậy
C1: $2^2+3^2=13$. VP có tận cùng là 3 mà các hạng tử vế trái đâu nhất thiết có tận cùng 1,2
C2: Pt $a^2+b^2=5$ vẫn có nghiệm nguyên mặc dù không phải là pt Py-ta-go

Cảm ơn anh em đã thấy chỗ sai "lớn" của mình .

[hathanh123]

Giải pt: $x^2 + y^2 = 2$

[L Lawliet]

Giải pt: $x^2 + y^2 = 2$

Ở đây là giải phương trình nghiệm nguyên hay sao bạn??? Đề không rõ ràng

[nthoangcute]

Giải pt: $x^2 + y^2 = 2$

Ý bạn ấy chắc là giải và biện luận nghiệm $x$ của PT $x^2 + y^2 = 2$ với $y$ là tham số

[nthoangcute]

Giải pt: $x^2 + y^2 = 2$

Nếu như thế thì:
$x^2 + y^2 = 2$
$\Leftrightarrow x^2=2-y^2$ (1)
Nếu $2-y^2 <0 \Leftrightarrow y^2>2 \Leftrightarrow y<-\sqrt{2}$ hoặc $y>\sqrt{2}$ thì PT(1) vô nghiệm (do $VT \geq 0 > VP$)
Nếu $2-y^2 =0 \Leftrightarrow y = -\sqrt{2}$ hoặc $y=\sqrt{2}$ thì PT(1) có một nghiệm $x=0$ (Do $VT=0=VP$)
Nếu $2-y^2 >0 \Leftrightarrow -\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$ thì PT(1) có 2 nghiệm phân biệt $x=\sqrt{2-y^2}$ và $x=-\sqrt{2-y^2}$