Chủ đề này có 38 trả lời

[nhacnhanlinh]

Hàm số F: C[a;b] --> R xác định như sau:
F(x)=
Chứng minh F(x) liên tục trên C[0;1], sup|F(x)|=1 với ||x||=1 nhưng nó không đạt tại bất cứ một điểm nào thuộc mặt cầu đơn vị trong không gian C[a;b].

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhacnhanlinh: 28-09-2005 - 20:49

[nhacnhanlinh]

Chứng minh F(x) liên tục và sup|F(x)|=1 với ||x||=1 thì dễ nhưng chứng minh nó không đạt tại điểm nào thuộc mặt cầu đơn vị trong C[a;b] thì tôi không biết làm thế nào. Nhờ các bác chỉ giùm.

[nemo]

Một câu hỏi thú vị: Phải chăng mọi không gian Vector đều có thể trang bị thêm chuẩn để trở thành một kgđc !?

[vinhspiderman]

Bài toán của nhacnhanlinh có thể chứng minh như sau :

Trong tất cả các bất đẳng thức sau, ta đều sử dụng tính chất http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f thuộc http://dientuvietnam...cgi?C[c,d] và http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là hàm hằng bằng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M hoặchttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[c,d].

Chứng minh bổ đề :
Giả sử phản chứng, tồn tại http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 trong http://dientuvietnam....cgi?[c,d] mà http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f liên tục nên tồn tại lân cận đủ nhỏ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 để trong http://dientuvietnam...;c',d'] giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|f| nhỏ hơn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Tách tích phân ban đầu thành 3 tích phân : từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c đến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d rồi đánh giá suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|a|=1/2,|b|=1/2 và a,b trái dấu. Không mất tổng quát, giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=1/2,b=-1/2. Theo bổ đề trên suy rahttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[0,1/2] và đồng nhất bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-1 trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f và ta có ĐPCM.

Nhận xét : Một kết quả đáng chú ý trong giải tích hàm là một không gian định chuẩn là hữu hạn chiều khi và chỉ khi nó là compact tương đối. Bài toán này có liên hệ với kết quả trên. Thật vậy, không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C[0,1] là vô hạn chiều nên không là compact tương đối, suy ra hình cầu đơn vị trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C[0,1] không là compact. Nếu hình cầu đó là compact thì hiển nhiên qua ánh xạ F, hình cầu này là tập compact trong R và phải đạt sup.Bài tập này chỉ ra điều đó không đúng, suy ra hình cầu đơn vị là không compact.

@ nemo : câu hỏi khá thú vị. Mình chưa nghĩ nhiều về vấn đề này, không biết cậu đã có câu trả lời chưa? Mình đoán câu hỏi này chắc là được các cụ trùm giải tích hàm nghiên cứu rồi, chứ câu hỏi loại "nằm giữa đường nghiên cứu" thế này thì làm gì còn xót nữa (vậy mới mệt cho lũ hậu bối chứ, hê hê).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 30-09-2005 - 08:56

[nhacnhanlinh]

Cảm ơn nhiều, tui cũng nghĩ là phải chứng minh bằng phản chứng nhưng không nghĩ đến bổ đề trên nên không đưa được đến mâu thuẫn. Còn giả định của bác Nemo tui cũng đang suy nghĩ, thanks bác nha, đưa tui đến một vấn đề mới.

[nemo]

@ nemo : câu hỏi khá thú vị. Mình chưa nghĩ nhiều về vấn đề này, không biết cậu đã có câu trả lời chưa? Mình đoán câu hỏi này chắc là được các cụ trùm giải tích hàm nghiên cứu rồi, chứ câu hỏi loại "nằm giữa đường nghiên cứu" thế này thì làm gì còn xót nữa (vậy mới mệt cho lũ hậu bối chứ, hê hê).

Câu hỏi này dễ làm người ta liên tưởng tới Đ/L Hahn-Banach, một tác giả sau khi đã trình bày chứng minh cho các dạng (giải tích, hình học, ...) của định lý này đã phát biểu rất hay đại khái là: Người làm giải tích không nhất thiết phải biết đường lối chứng minh cho một kết quả mà điều quan trọng họ phải biết sử dụng kết quả đó như thế nào. Anh có thể không biết đến chứng minh của bổ đề Zorn nhưng nhất thiết anh phải hiểu nó và phải biết rằng nó vô cùng quan trọng và hiệu quả như thế nào đối với những bài toán về sự tồn tại.

Nếu thay đ/n chuẩn là một ánh xạ từ E vào E thì luôn có bằng cách qui định một số tính chất trong E. Câu hỏi này mình còn chờ ý kiến của các bạn

[N.V.Minh]

Theo lời của con mèo ú nên trở lại đây bô lô ba la một tí cho vui .

Một câu hỏi thú vị: Phải chăng mọi không gian Vector đều có thể trang bị thêm chuẩn để trở thành một kgđc !?

Câu hỏi này tự nhiên và câu trả lời cũng rất tự nhiên . Đó là khẳng định . Cm rất dễ bằng cách tìm 1 kg "rộng lớn" đã đc định chuẩn rồi nhúng kg cần xét vào đó .

Câu hỏi này dễ làm người ta liên tưởng tới Đ/L Hahn-Banach

Tớ không hiểu . Nó làm tớ nghĩ tới hệ quả của đl Banach-Alaoglu . Hq này phát biểu rằng mọi kgđc đều có thể nhúng đẳng cự tuyến tính vào một kg C(X) tương ứng với X là 1 kg Haussdorff compact .

Nhân bài tập này , tớ cũng muốn ba hoa thêm một tẹo . Bài toán trang bị 1 cấu trúc cho 1 đối tượng là rất cơ bản ( và cả bao nhiêu cách nữa ) vì một đối tượng có càng nhiều cấu trúc thì nó càng chứa nhiều thông tin . Lại nhớ hồi dđ chưa bị sập , có bạn ( tên là Nam thì phải ) đặt câu hỏi là cấu trúc kg Banach trên 1 kgvt có là duy nhất ( xê xích 1 đẳng cấu) hay không ? Bài này nếu ai có lời giải thì post lên nhé .

Với hiểu biết hạn hẹp , trong hình học vp cũng có bài toán về trang bị cấu trúc khả vi bậc cao cho 1 đa tạp có cấu trúc khả vi bậc thấp hơn , đặc biệt là đa tạp topo ( bậc 0 ). Bài toán này đã được Whitney , Kervaire , Milnor giải quyết một cách bất ngờ . Đó là một cấu trúc kv bậc k trên đa tạp paracompact thì luôn có duy nhất cấu trúc kvvh , thậm chí là giải tích phù hợp với nó . Nhưng khi bậc là 0 thì ko còn đúng nữa vả lại nếu có thì cũng không nhất thiết là duy nhất .

hihi , gõ một hồi sướng tay quá ha .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 29-09-2005 - 21:25

[nemo]

Câu hỏi này tự nhiên và câu trả lời cũng rất tự nhiên . Đó là khẳng định . Cm rất dễ bằng cách tìm 1 kg "rộng lớn" đã đc định chuẩn rồi nhúng kg cần xét vào đó .

Quan trọng là có tồn tại phép nhúng thỏa mãn như thế không !?

Rất tiếc câu trả lời lại là phủ định, tồn tại những không gian Vector mà không tồn tại chuẩn nào trên nó cả (điều này thầy mình khẳng định nhưng mình thì vẫn chưa tìm được một ví dụ nào).

[N.V.Minh]

Quan trọng là có tồn tại phép nhúng thỏa mãn như thế không !?

Nhúng ở đây là nhúng đại số , tl có 1 đơn cấu tuyến tính từ kg đàng xét vào kg đủ rộng ( kg này nói chung là phụ thuộc vào kg cần đc)

Rất tiếc câu trả lời lại là phủ định, tồn tại những không gian Vector mà không tồn tại chuẩn nào trên nó cả (điều này thầy mình khẳng định nhưng mình thì vẫn chưa tìm được một ví dụ nào).

Rất tiếc câu trả lời là có . Còn ý của thầy bạn có lẽ là đc cho kg lồi địa phương mà topo của chúng trùng nhau . Cái này thì đã có vô vàn ví dụ , chẳng hạn kg hàm chỉnh hình trên một đĩa mở hay kg D và D' trong lý thuyết phân bố . Kolmogorov đã cm một kg lồi đp là khả đc nếu <--> nó tách , và có hệ cơ sở bị chặn địa phương .

[nemo]

Quan trọng là có tồn tại phép nhúng thỏa mãn như thế không !?

Nhúng ở đây là nhúng đại số , tl có 1 đơn cấu tuyến tính từ kg đàng xét vào kg đủ rộng ( kg này nói chung là phụ thuộc vào kg cần đc)

Nhưng phải chẳng luôn tồn tại một không gian Vector "rộng" hơn đã định chuẩn như trên để không gian cần xét có thể nhúng vào !?

Rất tiếc câu trả lời là có . Còn ý của thầy bạn có lẽ là đc cho kg lồi địa phương mà topo của chúng trùng nhau . Cái này thì đã có vô vàn ví dụ , chẳng hạn kg hàm chỉnh hình trên một đĩa mở hay kg D và D' trong lý thuyết phân bố . Kolmogorov đã cm một kg lồi đp là khả đc nếu <--> nó tách , và có hệ cơ sở bị chặn địa phương .

Câu hỏi đặt ra là phải chăng mọi không gian Vector đều tồn tại một chuẩn nào đó trên nó và câu trả lời của thầy là tồn tại những không gian Vector không thể định được chuẩn. Ở đây không có dính dáng gì tới topo gì cả.

Quả thật, thầy nói như vậy nhưng mình vẫn còn nghi ngờ nên mới post lên đây hỏi ý kiến mọi người. Nếu anh Minh có thể chứng minh được sự khẳng định thì anh có thể gợi ý cho em được không ạ !

Đây là cách xây dựng chuẩn của Hatucdao.
cho http://dientuvietnam...|a_2| ... |a_n|, nếu , trong đó http://dientuvietnam....cgi?x_1,..,x_n thuộc cơ sở B được chọn trước (các số http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_i và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i tồn tại duy nhất ứng với x).

[hoadaica]

Câu hỏi đặt ra là phải chăng mọi không gian Vector đều tồn tại một chuẩn nào đó trên nó và câu trả lời của thầy là tồn tại những không gian Vector không thể định được chuẩn. Ở đây không có dính dáng gì tới topo gì cả.

mi`nh cung khang dinh la` có, nhưng giờ không nhớ được, đã có lần mình gặp vd ở đâu dó rồi. Hẹn lần khác vậy.

[N.V.Minh]

Nếu anh Minh có thể chứng minh được sự khẳng định thì anh có thể gợi ý cho em được không ạ !

Không có gì khó cả . Lấy X = [a,b]^|A| với A là 1 cơ sở của kg cần định chuẩn , kí hiệu là Y . Khi đó card(X)>card(Y) --> cơ sở B của nó có card(B)>card(B) . Khi đó nhúng được là đương nhiên .
Nói thêm là bài này tớ chưa thấy ở bất kì cuốn sách nào . Có lẽ vì nó ko khó .

mi`nh cung khang dinh la` có, nhưng giờ không nhớ được, đã có lần mình gặp vd ở đâu dó rồi. Hẹn lần khác vậy.

Nói chung bạn có câu trả lời khá hay đấy . Cố tìm và dịch cho anh em chiêm ngưỡng bạn nhé .

Còn bài về cấu trúc Banach đã ai có câu trả lời chưa ? Ngày trước , tác giả của câu hỏi này đã định hướng giải ko đúng khi cho rằng topo của chuẩn có thể so sánh ( bác Kaka đã chỉ ra nó sai bằng nguyên lí ax mở ) .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 02-10-2005 - 17:08

[nemo]

Cảm ơn anh Minh và cả Hatucdao vì câu nói "nếu tin là có thì chứng minh không khó, nếu nghi ngờ thì sẽ khó thấy". Thực ra việc chứng minh tồn tại chuẩn em đã làm rồi (tổng quát hơn cho những không gian lồi địa phương) nhưng không vững vàng về mặt tư tưởng nên phải nhờ các bạn, các anh cho ý kiến. Vậy thì sau vấn đề này là gỉ ? Có tồn tại một không gian Vector có đếm được Chuẩn trên nó không và phải chăng chỉ có cấu trúc không gian Vector mới luôn có chuẩn ? và phải chăng mọi không gian Vector topo đều có chuẩn ?

[N.V.Minh]

Vậy thì sau vấn đề này là gỉ ? Có tồn tại một không gian Vector có đếm được Chuẩn trên nó không ?

Tớ không hiểu kg đếm được chuẩn là gì , nhưng đoán rằng ý của bạn là số cách định chuẩn cho kg nhiều lắm là đếm đc ( ko tính đẳng cấu ) . Cái này thì tớ không rõ nhưng nó có lẽ ko quan trọng gì lắm .

phải chăng chỉ có cấu trúc không gian Vector mới luôn có chuẩn

Cái này thì là đn thôi , nếu bạn mở rộng cho cấu trúc Mođun chẳng hạn mà thấy rằng các t.c quan trọng của k.g.đ.c vẫn đúng thì bạn có quyền gọi nó là modun đ.c . Nhưng chú ý là tập vô hướng phải có cấu trúc đặc biệt để có thể có các tính chất đối ngẫu sâu sắc , mà cái này đối với mấy vành là hơi khó .

và phải chăng mọi không gian Vector topo đều có chuẩn ?

Cái này không đúng . Nếu có thì việc gì phải xét kgvttp làm gì nữa .

[nemo]

và phải chăng mọi không gian Vector topo đều có chuẩn ?

Cái này không đúng . Nếu có thì việc gì phải xét kgvttp làm gì nữa .

Vậy điều này có đúng cho không gian Vector Topo tách lồi địa phương, giới nội địa phương không nhỉ ?

[N.V.Minh]

Vậy điều này có đúng cho không gian Vector Topo tách lồi địa phương, giới nội địa phương không nhỉ ?

Có ạh . Khi đó kg sẽ có 1 lân cận V cân , lồi , bị chặn . Nửa chuẩn p xác định bởi :
p:x-->inf{ >0 |x V } là 1 chuẩn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 05-10-2005 - 21:25

[nemo]

Thêm một lời khẳng định nữa của thầy là tồn tại những không gian Vector không định được chuẩn trên nó. Sau gợi ý của Hatucdao mình nghĩ có thể mở rộng một cách tương tự nào đó cho không gian vô hạn chiều và cũng đã chứng minh bằng bổ đề Zorn rằng mọi không gian Vector đều định được chuẩn nhưng hôm nay thầy đã chỉ ra chỗ sai. Anh Minh và Hatucdao liệu có ý kiến gì về lần khẳng định thứ ba này không nhỉ .

Lúc đầu mình chắc chắn vào sự khẳng định nhưng bây giờ chắc phải nghiêm túc hơn, câu hỏi là liệu có tồn tại chuẩn trên không gian Vector các hàm liên tục từ (0,1) vào R không ?

Trong phần trình bày của anh Minh em muốn hỏi là liệu mọi không gian Vector E đều tồn tại một không gian Vector F lớn hơn nó có thể định được chuẩn để E có thể nhúng vào !? Em cũng đã làm một ý tương tự thế này bằng bổ đề Zorn nhưng cuối cùng sai.

[N.V.Minh]

Trong phần trình bày của anh Minh em muốn hỏi là liệu mọi không gian Vector E đều tồn tại một không gian Vector F lớn hơn nó có thể định được chuẩn để E có thể nhúng vào !?

Đúng vậy ! tớ nói lại nhé .

1)Bạn gọi kgvt chưa định chuẩn là V ( trên R hay C) có 1 cơ sở là A .

2)Sau đó bạn đặt X là kg các ax từ V vào [0,1] ( đó chính là [0,1]^|V| ) . Khi đó , X là compact theo siêu đl Tikhonov và |X|>|V| .

3)Xét kg C(X) ( các hàm thực lt nếu xét trên R hoặc các hàm phức lt nếu xét trên C ), ta có |C(X)| |X|>|V| do đó cơ sở bất kì B của C(X) đều tm
- |B|>|A|

Đến đây chắc bạn không còn thắc mắc gì chứ ?

Anh Minh và Hatucdao liệu có ý kiến gì về lần khẳng định thứ ba này không nhỉ .

Tớ rất muốn bạn xin thầy cho vd cụ thể .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 07-10-2005 - 20:23

[Hatucdao]

Thêm một lời khẳng định nữa của thầy là tồn tại những không gian Vector không định được chuẩn trên nó

Lạ nhỉ, lần này thì phải check lại kĩ càng thôi.
Phác lại cm: Bổ đề Zorn chỉ dùng để chứng minh tồn tại 1 cơ sở, còn xây dựng chuẩn thì như trên đã nói. Sai chỗ nào nhỉ?

Phải chăng có một chút lầm lẫn chỗ này: "tồn tại không gian vecto topo không thể định chuẩn". Khi nói như vậy, thì có thể hiểu được vì chuẩn cần "định" ra phải tương thích với topo đã có. Nhưng vẫn đề định một chuẩn (bậy bạ nào đó ) cho một không gian vecto là chuyện khác.

Trong phần trình bày của anh Minh em muốn hỏi là liệu mọi không gian Vector E đều tồn tại một không gian Vector F lớn hơn nó có thể định được chuẩn để E có thể nhúng vào !?

Em cũng không đồng ý với cách nói của bác Minh. Bác nói tồn tại F như vậy mà không chỉ ra thì khác nào ...công nhận bài toán.

[N.V.Minh]

Bác nói tồn tại F như vậy mà không chỉ ra thì khác nào ...công nhận bài toán

F=C(X) , nếu bạn muốn gọi nó là F . Tớ xây dựng đàng hoàng chứ đâu có công nhận là có đâu . Bạn đọc lại đi

1)Bạn gọi kgvt chưa định chuẩn là V ( trên R hay C) có 1 cơ sở là A .

2)Sau đó bạn đặt X là kg các ax từ V vào [0,1] ( đó chính là [0,1]^|V| ) . Khi đó , X là compact theo siêu đl Tikhonov và |X|>|V| .

3)Xét kg C(X) ( các hàm thực lt nếu xét trên R hoặc các hàm phức lt nếu xét trên C ), ta có |C(X)|  |X|>|V| do đó cơ sở bất kì B của C(X) đều tm
- |B|>|A|

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 07-10-2005 - 21:05