Chủ đề này có 2 trả lời

[longqnh]

BÀI 1:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $min\left \{ a+b, b+c, c+a \right \}\geq 0$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ca)$.
CHỨNG MINH RẰNG:
$\sqrt{\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}}+\sqrt{\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}}+\sqrt{\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

BÀI 2:
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn điều kiện $abc=1$
CHỨNG MINH RẰNG:
$\frac{1}{(1+a^{2})}+\frac{1}{(1+b^{2})}+\frac{1}{(1+c^{2})}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$

[Ispectorgadget]

Bài 1:

Hiz. Cho em góp vui tí
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2} $$ $$+ 2\left (\sqrt{\dfrac{ab}{a^2 + b^2}}\sqrt{\dfrac{bc}{b^2 + c^2}}+ \sqrt{\dfrac{bc}{b^2 + c^2}}\sqrt{\dfrac{ca}{c^2 + a^2}}+ \sqrt{\dfrac{ca}{c^2 + a^2}}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2 + b^2}}\right ) \ge \dfrac{1}{2}$$
Ta sẽ chứng minh $$\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{1}{2}$$
Thật vậy $$\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{ab}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2 + a^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2 + b^2} $$ $$= \dfrac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{1}{2}$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu = xảy ra khi trong $a, b, c$ 2 số bằng nhau, 1 số = 0

[Secrets In Inequalities VP]

Đề sai rồi ! có lẽ là thế này thì ms có dấu "="

BÀI 2:
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn điều kiện $abc=1$
CHỨNG MINH RẰNG:
$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$

Ta thấy : trong 3 số a,b,c có ít nhất 2 số cùng lón hon hoặc nhỏ hon 1.
Gsu là a và b.
$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Leftrightarrow 2(ab+1)\geq a+b+ab+1$
$\Leftrightarrow 2(ab+1)\geq (a+1)(b+1)$ (1)
Ta có bổ đề quen thuộc : $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}$ (2)
Áp dụng (1) và (2) ta đc :
$VT\geq \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{2(ab+1)(c+1)}$
$= \frac{1}{1+\frac{1}{c}}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{(1+\frac{1}{c})(c+1)}$
$= \frac{c}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{c}{(c+1)^2}= \frac{c(c+1)+1+c}{(c+1)^2}$
$= \frac{(c+1)^2}{(c+1)^2}= 1$
Xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 12-08-2012 - 12:55