Chủ đề này có 2 trả lời

[Didier]

Cho $u_{n}$ tm
$\begin{cases}
u_{1}=\frac{4}{5}\\
u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n}^{4}-8u_{n}^{2}+8}
\end{cases}$
Tìm số hạng tổng quát của dãy số $u_{n}$

[navibol]

Cho $u_{n}$ tm
$\begin{cases}
u_{1}=\frac{4}{5}\\
u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n}^{4}-8u_{n}^{2}+8}
\end{cases}$
Tìm số hạng tổng quát của dãy số $u_{n}$

Ta đặt: $v_n=\frac{1}{u_n}$. Suy ra:
$v_{n+1}=8v_{n}^4-8v_{n}^2+1,v_1=\frac{5}{4}$
Chứng minh quy nạp $v_n=\frac{1}{2}\left ( 2^{2^{2n-2}}+2^{-2^{2n-2}} \right )$
Thật vậy ta sẽ chứng minh đúng khi với n+1
$v_{n+1}=v_{n}^4-8v_{n}^2+8=\frac{8}{16} \left ( 2^{2^{2n-2}}+2^{-2^{2n-2}} \right )^4-\frac{8}{4} \left ( 2^{2^{2n-2}}+2^{-2^{2n-2}} \right )+8$
$=\frac{1}{2} \left ( 2^{2^{2n-1}}+2^{-2^{2n-1}}+2 \right )^2-2 \left ( 2^{2^{2n-1}}+2^{-2^{2n-1}}+2 \right )+1$
$=\frac{1}{2}\left ( 2^{2^{2n}}+2^{-2^{2n}} \right )$
P/s: Đây là bài dãy trong đề của TP.HCM vòng 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi navibol: 30-03-2012 - 18:41

[dark templar]

Ta đặt: $v_n=\frac{1}{u_n}$. Suy ra:
$v_{n+1}=8v_{n}^4-8v_{n}^2+1,v_1=\frac{5}{4}$

Đến khúc này có thể giải bằng hàm hypebolic:
Đặt $v_1=\cosh{x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{5}{4}$
Ta sẽ có tính chất sau của hàm $\cosh$:
$$\cosh{2x}=2\cosh^2{x}-1$$
Nên $v_2=2(2v_1^2-1)^2-1=\cosh{4x}$.Như vậy theo quy nạp,ta có:
$$v_{n}=\cosh{(4^{n-1}x)}$$
Việc còn lại là tìm $x$ thông qua phương trình sau:
$$\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{5}{4}$$
P/s:Sở dĩ đến đây ta không thể đặt lượng giác hóa $v_1=\cos{x}$ là do $v_1>1$