7 replies to this topic

[xuanhung]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)$

Edited by Ispectorgadget, 31-03-2012 - 10:09.

[nthoangcute]

Ta có:
Áp dụng BĐT $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ 2 lần liên tiếp
Ta có $a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq ab^2c+bc^2a+ca^2b=abc(a+b+c)$

[Poseidont]

Ta có:
Áp dụng BĐT $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ 2 lần liên tiếp
Ta có $a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq ab^2c+bc^2a+ca^2b=abc(a+b+c)$

Ta có:
Áp dụng BĐT $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ 2 lần liên tiếp
Ta có $a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq ab^2c+bc^2a+ca^2b=abc(a+b+c)$

nhìn lại đi $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq ab^2c+bc^2a+ca^2b$ đoạn này vì a,b,c chưa biết âm hay dương nên bạn nên để giá trị tuyệt đối rồi xét tiếp

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

nhìn lại đi $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq ab^2c+bc^2a+ca^2b$ đoạn này vì a,b,c chưa biết âm hay dương nên bạn nên để giá trị tuyệt đối rồi xét tiếp

bdt $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx $ dung $\forall x,y,z \in R $ ma

[xuanhung]

Có bạn nào biết cách giải theo kiểu tạo bình phương của 1 tổng ko, ở chỗ mình nếu dùng cách trên thì phải chứng minh lại

[nthoangcute]

Có ngay:
_________________________________________________
$a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)$
$=\frac{ \left( {a}^{2}-{b}^{2} \right) ^{2}+ \left( {b}^{2}-{c}^{2} \right) ^
{2}+ \left( {c}^{2}-{a}^{2} \right) ^{2}+ \left( ab-bc \right) ^{2}+
\left( bc-ca \right) ^{2}+ \left( ca-ab \right) ^{2}}{2}$
$\geq 0$

Edited by nthoangcute, 31-03-2012 - 17:26.

[xuanhung]

Có ngay:
_________________________________________________
$x^4+y^4+z^4-abc(a+b+c)$
$=\frac{ \left( {x}^{2}-{y}^{2} \right) ^{2}+ \left( {y}^{2}-{z}^{2} \right) ^
{2}+ \left( {z}^{2}-{x}^{2} \right) ^{2}+ \left( xy-yz \right) ^{2}+
\left( yz-zx \right) ^{2}+ \left( zx-xy \right) ^{2}}{2}$
$\geq 0$

Bạn có thể trình bày rõ ràng hơn được không, mình đang học chuyên đề về phần này nên cần các cách giải phong phú và chi tiết

[nthoangcute]

Được, gọi là có liền:
______________________________________________________
Ta có:
$2(a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c))=(a^4-2 a^2 b^2+b^4)+(b^4-2 b^2 c^2+c^4)+(c^4-2 c^2 a^2+a^4)+2(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2)-2 abc (a+b+c)$
$=(a^4-2a^2b^2+b^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)+(c^4-2c^2a^2+a^4)+(a^2b^2-2ab.bc+b^2c^2)$ $+(a^2b^2-2ab.bc+b^2c^2)+(b^2c^2-2bc.ca+c^2a^2)+(c^2a^2-2ca.ab+a^2b^2)$
$=\left( {a}^{2}-{b}^{2} \right) ^{2}+ \left( {b}^{2}-{c}^{2} \right) ^ {2}+ \left( {c}^{2}-{a}^{2} \right) ^{2}+ \left( ab-bc \right) ^{2}+ \left( bc-ca \right) ^{2}+ \left( ca-ab \right) ^{2}\geq 0$
_______________________________________________________
Không hiểu tại sao cứ bị lỗi Latex, nhờ mod giúp

Edited by Ispectorgadget, 31-03-2012 - 18:07.