Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 31-03-2012 - 20:19

Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'

Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh A là số tự nhiên với mọi a thuộc N:
$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh:
$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$

Bài 4: Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Từ 1 điểm C trên đoạn OB, kẻ CN vuông góc với AM tại N. Tia phân giác của góc MAB cắt CN tại I, cắt (O) tại P. Tia MI cắt đường tròn (O) tại Q.
a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng.
b) Khi AM = BC, chứng minh tia MI đi qua trung điểm của AC.

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho $\widehat{EDC} = \widehat{FDB} = 90^o$. Chứng minh rằng: EF // BC.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sakura139: 01-04-2012 - 10:19


#2 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 01-04-2012 - 01:03

Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'




b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} y = x^2 (1)\\ z = xy (2)\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z}(3) \end{matrix}\right.$

Đk: x,y,z khác 0
--Từ (2) suy ra $\frac{1}{x}.\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
--Từ (3) suy ra $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{xy}$
<=> $\frac{y-x}{xy}=\frac{6}{xy}$
<=> y-x=6
<=>$ x^2-x-6$=0 (do $y=x^2$)
<=> * x=3
* x=-2
Suy ra: với x=3 => y=9,z=27 (thỏa Đk)
với x= -2 => y=4,z=-8 (thỏa Đk)

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#3 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 01-04-2012 - 01:57

Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'


Bài 4: Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Từ 1 điểm C trên đoạn OB, kẻ CN vuông góc với AM tại N. Tia phân giác của góc MAB cắt CN tại I, cắt (O) tại P. Tia MI cắt đường tròn (O) tại Q.
a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng.
b) Khi AM = BC, chứng minh tia MI đi qua trung điểm của AC.


Hình vẽ: Hình đã gửi
(đang trong giai đoạn luyện GPS,mọi người thông cảm)
a)chứng minh 3 điểm P,C,Q thẳng hàng,ta cần chứng minh $\widehat{IQC}=\widehat{MQP}$
--Để ý AICQ là tứ giác nội tiếp (chứng minh bằng cung chứa góc),suy ra: $\widehat{IQC}=\widehat{IAC}$(nội tiếp cùng chắn cung IC) (1)
--Mặt khác$ \widehat{MQP}=\widehat{MAP}$ (cùng chắn MP) (2)
---Ta lại có: $\widehat{IAC}=\widehat{MAP}$ (AP là phân giác (3)
Từ (1)(2)(3) => dpcm
b) (buồn ngủ quá,mai làm tiếp...Oáp :icon9: )

Hình vẽ: Hình đã gửi

---Gọi K là giao điểm của MI với AB
--- Dễ dàng chứng minh được: $\Delta AKM $ đồng dạng $\Delta QKB$
=> $\frac{AK}{AM}=\frac{QK}{QB}$ (1)
---Ta có sd cung MP bằng sd cung PB=> QP là phân giác $\widehat{MQP}$ mà theo a),Q,C,P thẳng hàng => QC là phân giác của tam giác AKB
=> $\frac{QK}{QB}=\frac{KC}{BC}$ (2)
Từ (1)và (2) => $\frac{AK}{AM}=\frac{KC}{BC}$
mà AM=BC (giả thiết)=> AK=KC=> K là trung điểm AC => MI đi qua trung điểm AC (dpcm)
p/s: kí hiệu đồng dạng với kí hiệu cung (ví dụ cung AK) trên VMF trên VMF là gì vậy mod

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 01-04-2012 - 10:03

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 01-04-2012 - 08:36

Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dương sao cho $6x + 3y + 2xy = 18$
b) Chứng minh A là số tự nhiên với mọi a thuộc N:
$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$

Lời giải. a) $6x+3y+2xy=18$
Ta có $1 \le 6x \le 18 \implies 1 \le x \le 3$
  • $x=3 \implies 3y+6y=0 \implies y=0$, loại.
  • $x=2 \implies 3y+4y=6 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
  • $x=1 \implies 3y+5y=12 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) $$ \begin{aligned} A & = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5} \\ & = \frac{a^5+10a^4+35a^3+50a^2+24a}{120} \end{aligned} \in \mathbb{N}$$
$$\iff 120 \mid a^5+10a^4+35a^3+50a^2+24a$$
Phân tích $120=3.2^3.5$. Đặt $P=a^5+10a^4+35a^3+50a^2+24a=a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$.
Đây là tích $5$ số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại ít nhất một số chia hết cho $3,5$ và ít nhất hai số có tích chia hết cho $8$.

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#5 sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-04-2012 - 10:39

Lời giải. a) $6x+3y+2xy=18$
Ta có $1 \le 6x \le 18 \implies 1 \le x \le 3$

  • $x=3 \implies 3y+6y=0 \implies y=0$, loại.
  • $x=2 \implies 3y+4y=6 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
  • $x=1 \implies 3y+5y=12 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
Vậy phương trình vô nghiệm.


Xin lỗi nhầm đề tí: $6x + 5y + 18 = 2xy$
$6x + 5y + 18 = 2xy $
$\Leftrightarrow (6x - 2xy) -15 + 5y = -33 $
$\Leftrightarrow (3-y)(2x -5) = -33 = -1.33=-33.1=-11.3=-3.11$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sakura139: 01-04-2012 - 10:51


#6 sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-04-2012 - 10:49

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$


Hôm đi thi làm thế này ko bít đúng ko, mọi người ai có cách ngắn hơn thì post lên lun.
ĐK : $x \geq -1$
$4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}=(x+1)^2-7(x+1)+20$
Đặt $x+1 =t$, ta có:
$16t = (t^2 - 7t +20)^2 $
$\Leftrightarrow t^4 - 14t^3+89t^2-269t+400 = 0 $
$\Leftrightarrow (t^4-4t^3)-(10t^3 - 40t)+(49t^2-196t)-(100t-400) = 0 $
$\Leftrightarrow (t-4)(t^3-10t^2+49t-100)=0 $
$\Leftrightarrow (t-4)^2(t^2-6t+25) = 0$
Vì $(t^2-6t+25) > 0 \Rightarrow t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow x = 3 (tmdk)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sakura139: 01-04-2012 - 10:52


#7 ZzBIOSzZ namh0aj

ZzBIOSzZ namh0aj

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nỗ lực của ta chẳng bao giờ vô nghĩa

Đã gửi 01-04-2012 - 11:39

bài 2(mình khác nữa nhưng có lẽ ngắn hơn)
ĐK :$x\geqslant -1$
$x^{2} - 5x + 14 = 4\sqrt{x + 1}$
$\Leftrightarrow x^{2} - 6x + 9 + x + 1 - 4\sqrt{x + 1} + 4 = 0$
$\Leftrightarrow (x - 3)^{2} + (\sqrt{x+1} - 2)^{2} = 0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1} x - 3=0 \\ \sqrt{x+1} - 2=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x=3$(TMĐK)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzBIOSzZ namh0aj: 09-04-2012 - 16:28


#8 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 01-04-2012 - 12:09

Hôm đi thi làm thế này ko bít đúng ko, mọi người ai có cách ngắn hơn thì post lên lun.
ĐK : $x \geq -1$
$4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}=(x+1)^2-7(x+1)+20$
Đặt $x+1 =t$, ta có:
$16t = (t^2 - 7t +20)^2 $
$\Leftrightarrow t^4 - 14t^3+89t^2-269t+400 = 0 $
$\Leftrightarrow (t^4-4t^3)-(10t^3 - 40t)+(49t^2-196t)-(100t-400) = 0 $
$\Leftrightarrow (t-4)(t^3-10t^2+49t-100)=0 $
$\Leftrightarrow (t-4)^2(t^2-6t+25) = 0$
Vì $(t^2-6t+25) > 0 \Rightarrow t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow x = 3 (tmdk)$

Mình giải khác tí nữa.
\[pt \Leftrightarrow ({x^2} - 6x + 9) + (x + 1 - 4\sqrt {x + 1} + 4) = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(\sqrt {x + 1} - 2)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\sqrt {x + 1} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\]

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#9 davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thực Hành SP

Đã gửi 01-04-2012 - 12:09

Mình làm thử bài 3 a/ ( không biết có đúng ko)
Dễ dàng tìm được a là nghiệm cua 2 pt
$4a^{2}-4a-1=0$ và $16a^{4}-24a^{2}+1=0$
$$\Rightarrow a^{4}=\frac{24a^{2}-1}{16}=\frac{24a+6-1}{16}=\frac{24a+5}{16}$$
$$\Rightarrow 16a^{8}=16(\frac{24a+5}{16})^{2}=\frac{576a^{2}+240a+25}{16}$$
$$16a^{8}-51a=\frac{576a^{2}+240a+25-816a}{16}=\frac{576a^{2}-576a+25}{16}==\frac{576a+144-576a+25}{16}=\frac{169}{16}$$
$\Rightarrow \sqrt{16a^{8}-51a}=\sqrt{\frac{169}{16}}=\frac{13}{4}$
3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$
Dấu ''='' xảy ra khi
$\left\{\begin{matrix}
4(a+b)^{2})=2(a+b)\\
a=b

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=b=0\\
a=b=\frac{1}{4}
\end{matrix}\right.$

#10 sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-04-2012 - 12:34

3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$


Cách khác ngắn hơn:
$(a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)(a+b+\frac{1}{2})=(a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})$
Áp dụng bđt Cô-si, ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab};$
$a+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}a} = \sqrt{a}; \ b+\frac{1}{4}\geq \sqrt{b}$
$\Rightarrow (a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a} (dpcm)$

#11 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 01-04-2012 - 15:26

Có được sử dụng máy tính Casio trong phòng thi không bạn???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 01-04-2012 - 15:27

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#12 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 02-04-2012 - 09:15

Bài Hình cuối
-Hình vẽ:Hình đã gửi
(mình đặt điểm nhầm,có đến 2 điểm H,hình chụp rồi,mọi người thông cảm....)
---Hạ BH (H thuộc CD) vuông góc với CD cắt DH (H thuộc BC) tại I ==> BI // ED và I là trực tâm của tam giác BDC
---Tia CI cắt BD tại G => CG vuông góc với BD mà FD vuông góc với BD => CG // FD hay CI // FD

-- Ta có ED // BI (cmt) => $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AI}$ (1)

CI // FD (cmt) => $\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AI}$ (2)

Từ (1),(2) =>$ \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ => EF // BC (định Lí Talet Đảo) (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 02-04-2012 - 09:19

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#13 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 02-04-2012 - 12:07

Anh (chị) thukilop học vẽ hình tại http://diendantoanho...=0 .

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh