cho x,y z là các số không âm thỏa mãn : x+y+z=2
Chứng minh rằng:$x^{3}+y^{3}+z^{3} \leq 1+\frac{1}{2}(x^{4}+y^{4}+z^{4})$
Chứng minh rằng:$x^{3}+y^{3}+z^{3} \leq 1+\frac{1}{2}(x^{4}+y^{4}+z^{4})$
Bắt đầu bởi shinichi2095, 01-04-2012 - 12:41
#2
Đã gửi 17-05-2021 - 09:04
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Lời giải. Ta có: $1=\frac{(x+y+z)^4}{16}=\frac{[x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)]^2}{16}\geqslant \frac{4(x^2+y^2+z^2).2(xy+yz+zx)}{16}=\frac{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}{2}$
$\Leftrightarrow 2\geqslant (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)=x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)+xyz(x+y+z)\geqslant x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)=x^3(2-x)+y^3(2-y)+z^3(2-z)\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\leq 1+\frac{1}{2}(x^4+y^4+z^4)$
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $x,y,z$ có một số bằng 0 và 2 số bằng 1.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
