Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 9 thành phố Hà Nội năm 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 04-04-2012 - 12:12

Có đề HN rồi nè :x, mấy đồng chí làm bài tốt chứ :P:

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 04/4/2012


Câu 1:
1/Cmr: A=$(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012})-(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}) \vdots 30 $ mọi a;b;c nguyên dương
2/Cho $f(x)=(2x^3-21x-29)^{2012}$
Tính f(x) khi $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}} +\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$

Câu 2:
1/Giải phương trình : $\sqrt{x^2+5}+3x=\sqrt{x^2+12}+5$

2/Giải hệ phương trình :
$x^2+xy+x-y-2y^2=0 $ và $x^2-y^2+x+y=6$

Câu 3: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$2x^2-5xy+3y^2-x+3y-4=0$

Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC và A bất kì nằm trên đường tròn.Từ A hạ AH vuông góc BC và vẽ đường tròn đường kính HA cắt AB;AC ở M và N.
a/Cmr: OA vuông góc MN
b/Cho $AH=\sqrt{2};BC=\sqrt{7}$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

Câu 5:
1/Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để 1 tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp r là tam giác đều là:
$\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}$
2/Cho 8045 điểm trên 1 mặt phẳng sao cho cứ 3 điểm bất kì thì tạo thành 1 tam giác có diện tích <1.Chứng minh rằng: Luôn có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của 1 tam giác có diện tích <1


Nguồn: diendan.hocmai.vn. Đã edit thời gian :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 04-04-2012 - 13:15

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#2 Cuong Ngyen

Cuong Ngyen

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 04-04-2012 - 12:32

Bài 1b) ra 1.
2b) $ x^2+xy+x-y-2y^2=0 $
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn x.
=> $ x^2+x.(y+1)-(2y^2+y) $
Delta = $(y+1)^2+4.(2y^2+y) $
= $ 9y^2-6y+1 $ lớn hơn hoặc bằng 0.=> tính được căn delta.
Sau đó=> tính được x theo y.
x=y hoặc x=-2y-1 thế vào (2) giải

#3 MathamaticsSoul

MathamaticsSoul

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 04-04-2012 - 15:40

Nhân tiện làm luôn mấy bài nè, xem sáng nay làm đúng ko, mọi người cho ý kiến:
Câu 1 :
a, Dễ cm A $\vdots$2 $\forall$ a,b,c
Biến đổi A về dạng :
$A=a^{2008}(a^{2}+1)(a^{2}-1)+b^{2008}(b^{2}+1)(b^{2}-1)+c^{2008}(c^{2}-1)(c^{2}+1)$
Xét 3 số a,b,c cùng $\vdots$ 3 ---> A$\vdots$3
Giả sử tồn tại trong 3 số một hoặc 2 số không $\vdots$ 3 --> bình phương số đó đồng dư với 1 theo mod 3.
--> A vẫn $\vdots$ 3
--> A$\vdots$3 với mọi a,b,c
Xét tất cả số a,b,c thì $a^{2}, b^{2}, c^{2}$đều viết được dưới dạng 5k+1 hoặc 5k-1
--> A$\vdots$5 với mọi a,b,c
Vậy A$\vdots$ 2.3.5=30 ( vì (2,3,5)=1 )

Bài 3.
Biến đổi về pt bậc 2 ẩn x :
Lập $\Delta = y^{2}-14y+33 \geq 0 -->\left\{\begin{matrix} y\geq 11\\ y\leq 3 \end{matrix}\right.$
Để x nguyên dương --> Đặt $\Delta = y^{2}-14y+33=k^{2} (k\epsilon Z)$
Đến đây giải theo pt ước số (y-7-k)(y-7+k)=16
Ta đc 4 nghiệm (x,y)=(14;11)(16:12)(4;3)(2;2)
Bài 2a:
Từ pt đã cho chuyển vế nhân liên hợp ta có $\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{x^{2}+5}=\frac{7}{3x-5}$
TỪ pt trên suy ra x dương.
Ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số >
Xét x>2 --> VT>VP
Xét 5/3x<2 --> VT<VP

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=2.
Còn bài hình mọi người tự chém.. >:) Phần hình tui làm thiếu nhiều lắm. !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathamaticsSoul: 04-04-2012 - 20:36

ForeverHình đã gửiAlone

#4 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 04-04-2012 - 17:40

Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+5}$ + 3x = 5 + $\sqrt{x^{2}+12}$


Phương trình đã cho tương đương với:
$$\sqrt {{x^2} + 5} - 3 + 3x - 6 - \sqrt {{x^2} + 12} + 4 = 0$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3\left( {x - 2} \right) - \frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3 - \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}}} \right) = 0$$
$$...$$

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4583 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 04-04-2012 - 18:27

Bài 5.2:
Gọi X là tập hợp các điểm đã cho trước.
Trong các tam giác có 3 đỉnh thuộc tập X, ta chọn $\vartriangle ABC$ là tam giác có diện tích lớn nhất.
Các đường thẳng qua A,B,C thứ tự song song với BC,CA,AB đôi một cắt nhau tại D,E,F như hình vẽ.
Ta chứng minh mọi điểm của tập X đều nằm trong $\vartriangle DFE$, kể cả trên cạnh.
Giả sử, có 1 điểm M thuộc tập X sao cho M nằm ngoài $\vartriangle DFE$. Không mất tính tổng quát, giả sử vị trí của M nằm như hình vẽ.
Hình đã gửi
Vẽ MA cắt FD tại H.
$S_{MAC}>S_{CAH}=S_{CAB}$: trái với cách chọn $\vartriangle ABC$ ban đầu.
Vậy ta có mọi phần tử của X đều nằm trong $\vartriangle DFE$ nên chúng nằm trong 1 trong 4 tam giác: ABC,ABF,ACE,BCD.
Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 1 tam giác chứa 2012 điểm.
Lại có $S_{ABC}=S_{ABF}=S_{ACE}=S_{BCD}<1$ nên ta có đpcm.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 huyentrang97

huyentrang97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Điểm tựa niềm tin

Đã gửi 04-04-2012 - 20:23

Cách làm khác của bài 1 nè:
Ta thấy:
$a^{2012}-a^{2008}=a^{2008}(a^{4}-1)$
=$a^{2008}(a^{2}+1)(a^{2}-1)$
=$a^{2008}(a^{2}+1)(a-1)(a+1)$
=$a^{2008}(a^{2}-4+5)(a-1)(a+1)$
=$a^{2007}a(a^{2}-4)(a-1)(a+1)+5a^{2007}a(a-1)(a+1)$
=$a^{2007}(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5a^{2007}a(a-1)(a+1)$
NX: +) $a^{2007}(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp suy ra chia hết cho 6và 5
Mà (5;6)=1. Suy ra $a^{2007}(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ $\vdots$ 30 (1)
+)$5a^{2007}(a-1)a(a+1)$ $\vdots$5
Lại có $(a-1)a(a+1)$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, suy ra chia hết cho 6
$5a^{2007}(a-1)a(a+1)$$\vdots$6
Suy ra $5a^{2007}(a-1)a(a+1)$$\vdots$30 (2)
Từ (1) và(2) suy ra $a^{2007}(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5a^{2007}(a-1)a(a+1)$$\vdots 30$
$\Rightarrow$ $a^{2012}-a^{2008}\vdots 30$
Tương tự với b và c, suy ra A$\vdots 30$ (đpcm)
Chính vị trí cánh buồm chứ không phải hướng gió sẽ quyết định chúng ta đi đến đâu.

#7 davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thực Hành SP

Đã gửi 04-04-2012 - 21:05

Bài 4
Hình đã gửi
câu a chắc khỏi làm quá quen thuộc rùi
câu b gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup MNC$
Cm BMNC nội tiếp để => B cũng thuộc đường tròn đó
Gọi I là giao điểm của AH và MN => $ JI\perp MN $ mà theo câu a $ OA \perp MN $ => IJ // OA
CM tương tự OJ // AI
Vậy AIJO là hình bình hành
=> $OJ=AI=\frac{AH}{2 }=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$ OB=AB=\frac{AB}{2 }=\frac{\sqrt{7}}{2}$
=> $BJ=\sqrt{OB^{2}+OJ^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 04-04-2012 - 21:27


#8 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 05-04-2012 - 08:11

Chém bài 5.1,
Đẳng thức đã cho tương đương với:

$\frac{1}{{\frac{S}{a} + 2\frac{S}{b}}} + \frac{1}{{\frac{S}{b} + 2\frac{S}{c}}} + \frac{1}{{\frac{S}{c} + 2\frac{S}{a}}} = \frac{1}{{3\frac{S}{{a + b + c}}}}$
Mặt khác, theo Cauchy-Schwartz, ta có:

\[
\frac{S}{a} + 2\frac{S}{b} = S\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b}} \right) \ge \frac{{9S}}{{a + 2b}}
\]

\[
\Rightarrow \frac{1}{{\frac{S}{a} + 2\frac{S}{b}}} \le \frac{{a + 2b}}{{9S}}
\]
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự, rồi cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:

\[
\frac{1}{{\frac{S}{a} + 2\frac{S}{b}}} + \frac{1}{{\frac{S}{b} + 2\frac{S}{c}}} + \frac{1}{{\frac{S}{c} + 2\frac{S}{a}}} \le \frac{{a + b + c}}{{3S}} = \frac{1}{{3\frac{S}{{a + b + c}}}}
\]
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c <=> tam giác ABC đều

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#9 davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thực Hành SP

Đã gửi 05-04-2012 - 10:53

Còn 1 bài nữa post lun vậy
$x=\sqrt[3]{7+\frac{7}{2\sqrt{2}}}+\sqrt[3]{7-\frac{7}{2\sqrt{2}}}$
$\Rightarrow x^{3}=14+3x\cdot \frac{7}{2}\Rightarrow 2x^{3}-21x-28=0$
$\Rightarrow f(x)=(2x^{3}-21x-29)^{2012}=(-1)^{2012}=1$

#10 kyu

kyu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 05-04-2012 - 17:55

Bài 4.2
Theo quan hệ đường xiên và đường vuông góc thì AH=<OA
Mà OA = BC/2 nên 2AH=<BC
Mà AH=$\sqrt{2}$, BC=$\sqrt{7}$ nên 2AH>BC.
vì vậy mâu thuẫn, do đó không tính được bán kính tam giác MNC.
22

#11 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 05-04-2012 - 18:05

bạn nào có đáp án bài 1.2 post lên nào

bạn nào có đáp án bài 1.2 post lên nào

chào bạn ahead, bài 1.2 bạn có thể làm như sau:
$x^{3}=7+\sqrt{\frac{49}{8}}+7-\sqrt{\frac{49}{8}}+3x\sqrt[3]{(7+\sqrt{\frac{49}{8}})(7-\sqrt{\frac{49}{8}})}
= $14+\frac{21}{2}x$ .
Suy ra : $$2x^{3}-21x-28=0 \Rightarrow 2x^{3}-21x-29=-1 \Rightarrow f(x)=(-1)^{2012}=1$.$

Cảm ơn bạn đã tham gia và ủng hộ cho topic.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 05-04-2012 - 18:06

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#12 macves

macves

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Đã gửi 21-04-2012 - 09:19

Bai 3 : co cach lam don gian hon nhu sau:

$pt \Leftrightarrow 2x^2 - x(5y+1)+3y^2+3y-6 + 2 =0 \leftrightarrow (2x-3y+3)(x-y-2)= -2$

Vay co 4 truong hop (2x - 3y + 3 ; x - y - 2) = (2; -1) ; (- 2; 1) (1; - 2) ( - 1 ; 2).
Vay pt co 4 cap so thoa man la : (14;11) ; (16:12); (4;3); (2;2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi macves: 21-04-2012 - 09:23


#13 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 28-05-2012 - 14:06

Em xin chém bài 5.2
Trong các điểm , ta chọn 2 điểm có độ dài lớn nhất ( gọi độ dài đó là x)
vì các tam giác tạo thành có S < 1 $\rightarrow$ các điểm đã cho nằm trong 1 hình chữ nhật có cạnh là $\frac {2}{x} .2 = \frac{4}{x}$
Ta chia hình chữ nhật đó thành 4 phần qua kẻ đường chéo, mỗi phần đó có $S < \frac{\frac{4}{x} . x}{4} = 1cm^2$
mà theo nguyên lý ddirricle $\rightarrow $ có 1phần được chia ra có chứa 2012 ( vì 8045 = 2011*4 +1)
Vậy $\rightarrow$ DFCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 28-05-2012 - 14:08


#14 dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 28-11-2012 - 22:20

Cách khác bài 5
Xét tam giác có diện tích lớn nhất , giả sử là ABC
Qua A,B,C kẻ song song với đt đối diện tạo thêm 3 tam giác diện tích đúng bằng ABC
Nếu có điểm nào nằm ngoài 4 tam giác trên thì nối điểm đó với cạnh đối diện thuộc ABC sẽ tạo tam giác mới diện tích lớn hơn ABC - vô lý
Vậy tất cả thuộc 4 tam giác
Theo dirichle . dpcm




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh