Chủ đề này có 2 trả lời

[Poseidont]

Chứng minh rằng nếu phương trình $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thực thì $a^2+b^2\geq \frac{4}{5}$
bài này khá khó, gợi ý là dùng đạo hàm nhé

[vietfrog]

Chứng minh rằng nếu phương trình $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thực thì $a^2+b^2\geq \frac{4}{5}$
bài này khá khó, gợi ý là dùng đạo hàm nhé

Bài này là một bài trong báo THTT số cũng lâu rồi.
Cách làm sơ lược thì thế này.
Nhận thấy PT đã cho là đối xứng.
Ta có:

\[\begin{array}{l}
{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + a\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + b = 0 \\
\Leftrightarrow {t^2} + at + b - 2 = 0\,\,\left( {x + \frac{1}{x} = t} \right) \\
\end{array}\]
Dễ thấy: $\left| t \right| \ge 2$
Từ đó có đánh giá:

\[\begin{array}{l}
2 - {t^2} = at + b \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)} \\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {2 - {t^2}} \right)}^2}}}{{{t^2} + 1}} \\
\end{array}\]
Dễ thấy: $\left| t \right| \ge 2$ ta dễ dàng khảo sát hàm $f(t)$ trên một khoảng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05-04-2012 - 18:12

[WhjteShadow]

Đến đoạn c/m $\frac{(2-t^2)^2}{t^2+1}\geq \frac{4}{5}$ Ta có thể dùng biến đổi tương đương
$\Leftrightarrow 5(2-t^2)^2\geq 4t^2+4$
$\Leftrightarrow 5t^4-24t^2+16\geq 0$
$\Leftrightarrow (t^2-4)(5t^2-4)\geq 0$ (Luôn đúng d0 $t^2\geq4$)