Chủ đề này có 2 trả lời

[bahao66]

Với mọi số k nguyên dương ,đặt $S_{k}= \left ( \displaystyle \sqrt{2}+1 \right )^{k}+\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{k}$
Chứng minh rằng $S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}$ với mọi $m, n$ là số nguyên dương và $m> n$
Lần sau đọc kĩ cái này trước khi post bài nhé

→ Nội quy diễn đàn Toán học

→ Thông báo về việc đặt tiêu đề

→ Cách gõ LATEX trên Diễn đàn

→ Gõ thử công thức toán

Lần này mình sửa tiêu đề cho bạn lần sau sẽ xóa không báo trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-04-2012 - 17:45

[perfectstrong]

Lời giải:
Ta lưu ý:
\[
\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1
\]
Do đó
\[
\begin{array}{l}
S_{m + n} + S_{m - n} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{m + n} + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{m - n} + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{m + n} + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{m - n} \\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n + \frac{1}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n }}} \right] + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n + \frac{1}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n }}} \right] \\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n } \right] + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n } \right] \\
= \left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n } \right]\left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^m + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m } \right] = S_m .S_n \\
\end{array}
\]

[hamdvk]

cái này bạn đọc thêm về dãy truy hồi ở lớp 11 có rất nhiều ứng dung hay