Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Giải hệ phương trình sau: với x,y,z là ẩn số
\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x = y + \frac{{2011}}{y} \\
2y = z + \frac{{2011}}{z} \\
2z = x + \frac{{2011}}{x} \\
\end{array} \right.
\]
OLYMPIC HÀ NỘI -AMSTERDAM lớp 10 năm học 2010-2011

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-04-2012 - 21:50

[Sunflower2]

Dễ thấy x,y,z luôn cùng dấu . . . nên ta chỉ xét x,y,z dương . Và nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm của hệ . .

Áp dụng BĐT thức AM-GM , ta có :

$x,y,z\geq \sqrt{2011}$

Cộng từng vế của 3 phương trình trên ta có :

$x+y+z=\frac{2011}{x}+\frac{2011}{y}+\frac{2011}{z}$

$VT\geq 3\sqrt{2011}\geq VP$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{2011}$

Vậy nghiệm của hê là $x=y=z=\sqrt{2011} ; x=y=z=-\sqrt{2011}$