Cho a,b la nhung so thuc duong thoa man:
$a+b\geq 2$.CMR
$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$
$a+b\geq 2$.CMR $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$
Bắt đầu bởi sonksnb, 15-04-2012 - 13:04
#1
Đã gửi 15-04-2012 - 13:04
#2
Đã gửi 15-04-2012 - 14:58
Sửa lại như sau:Ta có:
$a^4+b^4 \geq a^3+b^3$
$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$
$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+a^3b+b^3a$
$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3 \geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3) \geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0$
Vậy . . .
$(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0$ luôn đúng với mọi $a,b$
Suy ra $2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$
mà $a+b \geq 2$
Suy ra $(a+b)(a^3+b^3) \geq 2 (a^3+b^3)$
Vậy ta có: $2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3) \geq 2(a^3+b^3)$
Hay $a^4+b^4 \geq a^3+b^3$
- Mai Duc Khai yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#3
Đã gửi 15-04-2012 - 17:55
Có thể áp dụng AM-GM như sau :
$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$
Tương tự rùi cộng lại ta có :
$3(a^4+b^4)\geq 3(a^3+b^3)+(a^3+b^3-2)$
Tiếp theo , ta chứng minh $a^3+b^3\geq 2$
Cái này đơn giản , chỉ cần áp dụng BĐT sau :
$4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\geq 8$
. . .Xong roài . . ^^~
$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$
Tương tự rùi cộng lại ta có :
$3(a^4+b^4)\geq 3(a^3+b^3)+(a^3+b^3-2)$
Tiếp theo , ta chứng minh $a^3+b^3\geq 2$
Cái này đơn giản , chỉ cần áp dụng BĐT sau :
$4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\geq 8$
. . .Xong roài . . ^^~
- nthoangcute yêu thích
#4
Đã gửi 15-04-2012 - 18:45
Cách khác:
Ta luôn có: $(a - b)^2 \geq 0$
$\Rightarrow 2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2 \geq 2(a + b) \Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq a + b$
Do a, b khác 0. nhân hai vế của BĐT trên với: $a^2 - ab + b^2$, ta có:
$(a^2 + b^2)(a^2 - ab + b^2) \geq (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 + 2a^2b^2 - ab^3 - ba^3 \geq a^3 + b^3$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geq a^3 + b^3 + ab(a - b)^2 \geq a^3 + b^3 \,\, (a, b > 0)$
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
Ta luôn có: $(a - b)^2 \geq 0$
$\Rightarrow 2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2 \geq 2(a + b) \Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq a + b$
Do a, b khác 0. nhân hai vế của BĐT trên với: $a^2 - ab + b^2$, ta có:
$(a^2 + b^2)(a^2 - ab + b^2) \geq (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 + 2a^2b^2 - ab^3 - ba^3 \geq a^3 + b^3$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geq a^3 + b^3 + ab(a - b)^2 \geq a^3 + b^3 \,\, (a, b > 0)$
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 15-04-2012 - 18:46
- nthoangcute yêu thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh