Chủ đề này có 3 trả lời

[sonksnb]

Cho a,b la nhung so thuc duong thoa man:
$a+b\geq 2$.CMR
$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$

[nthoangcute]

Ta có:
$a^4+b^4 \geq a^3+b^3$
$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$
$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+a^3b+b^3a$
$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3 \geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3) \geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0$
Vậy . . .

Sửa lại như sau:
$(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0$ luôn đúng với mọi $a,b$
Suy ra $2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$
mà $a+b \geq 2$
Suy ra $(a+b)(a^3+b^3) \geq 2 (a^3+b^3)$
Vậy ta có: $2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3) \geq 2(a^3+b^3)$
Hay $a^4+b^4 \geq a^3+b^3$

[Sunflower2]

Có thể áp dụng AM-GM như sau :

$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$

Tương tự rùi cộng lại ta có :

$3(a^4+b^4)\geq 3(a^3+b^3)+(a^3+b^3-2)$

Tiếp theo , ta chứng minh $a^3+b^3\geq 2$

Cái này đơn giản , chỉ cần áp dụng BĐT sau :

$4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\geq 8$

. . .Xong roài . . ^^~

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cách khác:
Ta luôn có: $(a - b)^2 \geq 0$

$\Rightarrow 2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2 \geq 2(a + b) \Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq a + b$

Do a, b khác 0. nhân hai vế của BĐT trên với: $a^2 - ab + b^2$, ta có:
$(a^2 + b^2)(a^2 - ab + b^2) \geq (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$\Leftrightarrow a^4 + b^4 + 2a^2b^2 - ab^3 - ba^3 \geq a^3 + b^3$

$\Leftrightarrow a^4 + b^4 \geq a^3 + b^3 + ab(a - b)^2 \geq a^3 + b^3 \,\, (a, b > 0)$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 15-04-2012 - 18:46