Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh :
$$\dfrac{a^4+b^4}{ab\left (a^3+b^3\right )}+\dfrac{b^4+c^4}{bc\left (b^3+c^3\right )}+\dfrac{c^4+a^4}{ca\left (c^3+a^3\right )}\ge 1$$

[phantomladyvskaitokid]

Bài toán :
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh :
$$\dfrac{a^4+b^4}{ab\left (a^3+b^3\right )}+\dfrac{b^4+c^4}{bc\left (b^3+c^3\right )}+\dfrac{c^4+a^4}{ca\left (c^3+a^3\right )}\ge 1$$

$ab+bc+ca=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

$(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\Leftrightarrow a^4+b^4 \geq a^3b+ab^3 \Leftrightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a+b)(a^3+b^3)$

$\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a+b}{2ab} =\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

tt