Chủ đề này có 2 trả lời

[Ginta Pham]

$\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ginta Pham: 19-04-2012 - 22:26

[Draconid]

$\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$

Đây là dạng tích phân suy rộng:
Ta có P = $\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$ = $\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{o}^{t}\frac{x^{3}} {e^{x}-1}dx$ (1)
Xét nguyên hàm i = $\int \frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$ ( $\ast$ $\ast$ )
đặt x=-u => dx=-du và
i = $\int \frac{u^{3}}{e^{-u}-1}du$ = $-\int \frac{u^{3}.e^{u}}{e^{u}-1}du$
i = $-\int \frac{x^{3}.e^{x}}{e^{x}-1}dx$ ( $\ast$ )
Cộng theo vế ( $\ast$ ) và ( $\ast$$\ast$ ) ta được
i = $\int \frac{x^{3}}{2}dx$ = $\frac{x^{4}}{8}$

Áp dụng vào (1) ta có P = $\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{t^{4}}{8}$ = $\infty$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Draconid: 20-04-2012 - 01:27

[Ginta Pham]

Đây là dạng tích phân suy rộng:
Ta có P = $\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$ = $\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{o}^{t}\frac{x^{3}} {e^{x}-1}dx$ (1)
Xét nguyên hàm i = $\int \frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$ ( $\ast$ $\ast$ )
đặt x=-u => dx=-du và
i = $\int \frac{u^{3}}{e^{-u}-1}du$ = $-\int \frac{u^{3}.e^{u}}{e^{u}-1}du$
i = $-\int \frac{x^{3}.e^{x}}{e^{x}-1}dx$ ( $\ast$ )
Cộng theo vế ( $\ast$ ) và ( $\ast$$\ast$ ) ta được
i = $\int \frac{x^{3}}{2}dx$ = $\frac{x^{4}}{8}$

Áp dụng vào (1) ta có P = $\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{t^{4}}{8}$ = $\infty$

Chào bạn, có lẽ kết quả bạn đưa ra không đúng rồi. Theo mình dùng phần mềm thì ra $\frac{\pi ^{4}}{15}$ .
P/s tích phân này trong định luật Stefan - Boltzmann