5 replies to this topic

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho hình vuông $ABCD$ và điểm $M$ nằm bên trong hình vuông đó.sao cho $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=15^0$
Hãy chứng minh Tam giác $MCD$ đều.
Bài toán này có khá nhiều hướng giải. Tuy nhiên, không phải cách nào cũng hay cả. Ý kiến của bạn ?
Các bạn hãy trình bày cách giải ưng ý nhất. Nhưng cần sáng tạo và không nhàm chán (bài này có một cách rất hay).

[tranhydong]

Em xin giải như sau (cách giống lớp 8 )
Kẻ đường cao DH của tam giác ADM cắt AB tại S
Kẻ đường trung trực của đoạn AD cắt DH tại G
Dễ có $\angle SAH =\angle ADH=15$ ( cùng phụ góc DAS )
Mà AD=AB và $\Delta DGA$ cân , $\Delta BMA$
=>$\Delta DGA=\Delta BMA$
Từ đây dễ C\m được $\Delta GMA$ đều
Từ đó DM=DA=BC => $\Delta BCM$ đều
Mặt khác $\angle ADM = 2\angle ADG=30$
=>$\angle CDM=60$
=> đpcm

Edited by tranhydong, 21-04-2012 - 18:44.

[cool hunter]

Vẽ ra phía ngoài hình vuông 1 tam giác đều ABE. Vì EA=EB; MA=MB nên EM là đường trung trực AB, suy ra $ \widehat{MEB}=30^{\circ}$.\
VÌ $ \Delta EBM=\Delta CBM (c.g.c)$, suy ra$ \widehat{MCB}=\widehat{MEB}=30^{\circ} \Rightarrow \widehat{MCD}=60^{\circ}$ (1).
Mặt khác, $ \Delta AMD=\Delta BMC (c.g.c)$, suy ra: $MD=MC$ (2)
Từ (1) & (2) =>$ \Delta MCD$ đều (đpcm)
*cách này of lớp 7

Edited by vtduy97, 23-04-2012 - 21:35.

[perfectstrong]

Lời giải 3:
Đặt $AB=BC=CD=DA=a$.
Dễ thấy $\vartriangle ADM=\vartriangle BCM \Rightarrow MD=MC;\angle AMD=\angle BMC$
Giả sử $DM \geq DC=a (2)\Rightarrow \angle DCM \geq \angle DMC$
Tương tự $\angle CDM \geq CMD \Rightarrow 3\angle DMC \leq \angle DMC+\angle DCM+\angle CDM=180^o$
$\Rightarrow \angle DMC\leq 60^o$
Mà $\angle DMC=360^o-\angle AMB-\angle AMD-\angle BMC=210^o-2\angle AMD$
$\Rightarrow \angle AMD \geq 75^o=\angle DAM \Rightarrow a=AD \geq MD$(2)
(1),(2) suy ra $DM=DC=MC \Rightarrow \vartriangle DMC$ đều.
TH $DM \leq DC$ cũng tương tự, ta có $\vartriangle DMC$ đều.

Edited by perfectstrong, 23-04-2012 - 15:52.

[Tham Lang]

Còn một cách nữa không tốn nhiều giấy mực, mọi người nghĩ xem sao

[dohuuthieu]

Đặt AB=a
Dựng đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt AB,DC tại K và H.
Vì $tan15^{0}=2-\sqrt{3}$ nên MK=$(2-\sqrt{3})AK$
Suy ra MH=a-$(2-\sqrt{3})\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Mà tam giác MCD cân tại M và CD=a nên tam giác MCD là tam giác đều.

Edited by dohuuthieu, 24-04-2012 - 09:28.