$$x^y+y=y^x+x.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 22-04-2012 - 11:15
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 22-04-2012 - 11:15
Giải pt nghiệm nguyên.
$$x^y+y=y^x+x.$$
cho hỏi bài này là nguyên dương hay nguyên vậy ?
Giải pt nghiệm nguyên.
$$x^y+y=y^x+x.$$
- Với $x,y\leq 0$ thì $x^y+y^x\not \in \mathbb{Z}(x,y\neq 1)\Rightarrow x^y=y^x\Rightarrow x=y$
- Với $x>0,y\leq 0$ thì do $x^y\in (0;1]\Rightarrow x=1$ hoặc $y=0$ (do $x,y\in \mathbb{Z}$) nhưng chỉ có $x=1$ thỏa mãn
- Với $x,y>0$
+TH $x=y$ ta thấy thỏa mãn $\forall x\in \mathbb{Z^+}$
+ TH $x\neq y$
Giả sử $x>y\Rightarrow x^y+y=y^x+x>y^x+y\Rightarrow x^y>y^x\Rightarrow \sqrt[x]{x}>\sqrt[y]{y}$
Xét hàm $f(x)=\sqrt[x]{x}$ trên khoảng $(1;+\infty)$ là hàm liên tục
Có $f'(x)=\dfrac{(1-\ln x)\sqrt[x]{x}}{x^2}$ ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow x=e$
$\Rightarrow f$ có cực đại tại điểm có hoành độ $e$ (do $f(e)>f(2)$)
$\Rightarrow f$ đồng biến trên $(1;e)$ nghịch biến trên $(e;+\infty)$.
Kết hợp với $f(n)\geq f(1),\forall n\in \mathbb{Z^+}$ và $f(2)=f(4)$ nên để thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $x>y$ và $\sqrt[x]{x}>\sqrt[y]{y}$ thì cặp $(x,y)$ là $(3,2)$ hoặc $(n,1),\forall n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn.
Kết luận phương trình có các nghiệm $(x,y)$ là $(1,n);(n,1);(m,m);(2,3);(3,2),\forall n,m\in \mathbb{Z},m\neq 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 08-10-2013 - 16:38
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh