3 replies to this topic

[Stranger411]

Bài 1: Cho $\Delta ABC$. Chứng minh:
$$\frac{1}{2-\cos A}+\frac{1}{2-\cos B}+\frac{1}{2-\cos C}\ge 2$$

Bài 2: Cho $\Delta ABC$. Chứng minh:
$$\frac{\left( 1-\sin \frac{A}{2} \right)\left( 1+\cos \frac{A}{2} \right)}{\sin \frac{A}{2}\left( 1+\sin \frac{A}{2} \right)}+\frac{\left( 1-\sin \frac{B}{2} \right)\left( 1+\cos \frac{B}{2} \right)}{\sin \frac{B}{2}\left( 1+\sin \frac{B}{2} \right)}+\frac{\left( 1-\sin \frac{C}{2} \right)\left( 1+\cos \frac{C}{2} \right)}{\sin \frac{C}{2}\left( 1+\sin \frac{C}{2} \right)}\ge 2+\sqrt{3}$$

Edited by Stranger411, 24-04-2012 - 19:10.

[Ispectorgadget]

Bài 1: Cho $\Delta ABC$. Chứng minh:
$$\frac{1}{2-\cos A}+\frac{1}{2-\cos B}+\frac{1}{2-\cos C}\ge 2$$

Ông bạn của mình đây mà
Trước hết ta sẽ chứng minh $$cosA+cosB+cosC\geq -\frac{3}{2}$$
Cho $\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}$ là 3 véc tơ đơn vị. ( các góc $A,B,C \in (0; \pi)$)
Ta dễ dàng chứng minh được $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2=3+2(cosA+cosB+cosC) \ge 0$
Từ đây suy ra $$cosA+cosB+cosC\geq \frac{-3}{2}$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-HM ta có:
$$\frac{1}{2-cosA}+\frac{1}{2-cosB}+\frac{1}{2-cosC}\geq \frac{9}{3-cosA-cosB-cosC}\geq \frac{9}{3+\frac{3}{2}}=2$$

Edited by Ispectorgadget, 24-04-2012 - 12:04.

[Stranger411]

Ông bạn của mình đây mà
Trước hết ta sẽ chứng minh $$cosA+cosB+cosC\geq -\frac{3}{2}$$
Cho $\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}$ là 3 véc tơ đơn vị. ( các góc $A,B,C \in (0; \pi)$)
Ta dễ dàng chứng minh được $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2=3+2(cosA+cosB+cosC) \ge 0$
Từ đây suy ra $$cosA+cosB+cosC\geq \frac{-3}{2}$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-HM ta có:
$$\frac{1}{2-cosA}+\frac{1}{2-cosB}+\frac{1}{2-cosC}\geq \frac{9}{3-cosA-cosB-cosC}\geq \frac{9}{3+\frac{3}{2}}=2$$

Một lỗi sai khá cơ bản đó ông bạn
$$2\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})= \cos2C$$
Từ đó, ta có: $$cos2A+cos2B+cos2C\geq \frac{-3}{2}$$
Bài này không đơn giản như vậy đâu

Edited by Stranger411, 25-04-2012 - 22:06.

[Ispectorgadget]

Một lỗi sai khá cơ bản đó ông bạn
$$2\cos \left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)=2\widehat{C}$$
Từ đó, ta có: $$cos2A+cos2B+cos2C\geq \frac{-3}{2}$$
Bài này không đơn giản như vậy đâu

Phát hiện ra là giải sai mà chỗ $2\cos \left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)=2\widehat{C}$ cậu lý luận sai rồi phải là
$$2\cos \left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)=2\widehat{AOB}$$
Mới đúng chớ
Post cách của cậu lên cho tớ tham khảo

Edited by Ispectorgadget, 25-04-2012 - 21:55.